题目内容

已知，把Rt△ABC和Rt△DEF按图1摆放（点C与E重合），点B，C，E，F始终在同一条直线上，∠ACB=∠EDF=45°，AC=8，BC=6，EF=10．如图2，△DEF从图1位置出发，以每秒1个单位的速度沿CB向△ABC匀速运动，同时，点P从点A出发，沿AB以每秒1个单位的速度向点B匀速运动，AC与△DEF的直角边相交于点Q，当E到达终点B时，△DEF与点P同时停止运动，连接PQ，设移动的时间为t（s）．解答下列问题：
（1）当D在AC上时，求t的值；
（2）在P点运动过程中，是否存在点P，使△APQ为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
（3）连接PE，设四边形APEQ的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．
分析：（1）根据等腰三角形性质求出即可；
（2）①AP=AQ，求出即可；②AP=PQ，作PH⊥AC于H，根据相似得出比例式，即可求出答案；③AQ=PQ，作PH⊥AC于H，根据相似得出比例式，④当5≤t≤10时，AQ=PQ，作PH⊥BC，PG⊥AC，利用相似与勾股定理，即可求出答案；
（3）根据四边形APEQ的面积=
1
2
AC•BC-
1
2
EC•EQ-
1
2
BE•PM，由三角形的面积之差就可以表示出四边形的面积，分两种情况可以求出y与t之间的关系式．
解答：解：（1）当D在AC上时，
∵DE=DF，
∴EC=CF=
1
2
EF=5，
∴t=5；

（2）存在．
∵AP=t，∠EDF=90°，∠DEF=45°，
∴∠CQE=45°=∠DEF，
∴CQ=CE=t，
AQ=8-t，当0≤t＜5时，
①AP=AQ，
t=8-t，
∴t=4；
②AP=PQ，
作PH⊥AC于H，
AH=HQ=
1
2
AQ=4-
1
2
t，
∵PH∥BC，
∴△APH∽△ABC，
∴
AP
AH
=
AB
AC

∴
t
4-
1
2
t
=
10
8
，
∴t=
40
13
；
③AQ=PQ，
作QI⊥AB于I，
AI=PI=
1
2
AP=
1
2
t（等腰三角形的性质三线合一），
∵∠AIQ=∠ACB=90°，∠A=∠A，
∴△AIQ∽△ACB，
∴
AI
AQ
=
AC
AB
，
∴
1
2
t
8-t
=
8
10
，
∴t=
64
13
；
④当5≤t≤10时，AQ=PQ，作PH⊥BC，PG⊥AC，
同理可求出，
FC=QC=10-t，BP=10-t，
PH=
4
5
（10-t）=8-
4
5
t，
BH=
3
5
（10-t）=6-
3
5
t，
QG=QC-GC=QC-PH=10-t-（8-
4
5
t）=2-
t
5
，PG=HC=6-（6-
3
5
t）=
3
5
t，
PQ=AQ=8-（10-t）=t-2，
∴PQ 2=PG 2+QG 2，
（t-2）2=（
3
5
t）2+（2-
t
5
）2，
解得：t1=0（舍去），t2=
16
3
秒，
综合上述：当t等于4秒、
40
13
秒、
64
13
秒、
16
3
秒时△APQ是等腰三角形．

（3）如图4，过点P作PM⊥BE于M，
∴∠BMP=90°．
∴△ABC∽△PBM，
∴
AC
PM
=
AB
PB
，
∴
8
PM
=
10
10-t
，
∴PM=8-
4
5
t．
①当0＜t＜5时，
y=
1
2
AC•BC-
1
2
EC•CQ-
1
2
BE•PM
=
1
2
×8×6-
1
2
×t×t-
1
2
×(6-t)(8-
4
5
t)，
=-
9
10
t2+
32
5
t；
②如图5，当5≤t＜6时，
y=
1
2
×8×6-
1
2
×t×(10-t)-
1
2
×(6-t)(8-
4
5
t)，
=
1
10
t2+
7
5
t．
综上所述，y与t之间的函数关系式为：y=
-
9
10
t2+
32
5
t   (0＜t＜5)
1
10
t2+
7
5
t       (5≤t＜6)
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质、利用三角形的面积公式求二次函数的解析式，勾股定理的运用，特殊图形的面积的求法等知识，图形较复杂，考查学生数形结合的能力，综合性强，难度较大．
练习册系列答案
相关题目
已知：把Rt△ABC和Rt△DEF按如图甲摆放（点C与点E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上．∠BAC=∠DEF=90°，∠ABC=45°，BC=9cm，DE=6cm，EF=8cm．如图乙，△DEF从图甲的位置出发，以1cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△DEF的顶点F出发，以3cm/s的速度沿FD向点D匀速移动．当点P移动到点D时，P点停止移动，△DEF也随之停止移动．DE与AC相交于点Q，连接BQ、PQ，设移动时间为t（s）．解答下列问题：
（1）设三角形BQE的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
（2）当t为何值时，三角形DPQ为等腰三角形？
（3）是否存在某一时刻t，使P、Q、B三点在同一条直线上？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．
精英家教网
已知，把Rt△ABC和Rt△DEF按图1摆放，（点C与E点重合），点B、C、E、F始终在同一条直线上，∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，AC=8，BC=6，EF=10，如图2，△DEF从图1出发，以每秒1个单位的速度沿CB向△ABC匀速运动，同时，点P从A出发，沿AB以每秒1个单位向点B匀速移动，AC与△DEF的直角边相交于Q，当P到达终点B时，△DEF同时停止运动，连接PQ，设移动的时间为t（s）．解答下列问题：

（1）△DEF在平移的过程中，当点D在Rt△ABC的边AC上时，求t的值；
（2）在移动过程中，是否存在△APQ为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
（3）在移动过程中，当0＜t≤5时，连接PE，是否存在△PQE为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
（2012•晋江市质检）已知：把Rt△ABC和Rt△DEF按如图（1）摆放（点C与点E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上．∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，AC=8cm，BC=6cm，EF=9cm．如图（2），△DEF从图（1）的位置出发，以1cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△ABC的顶点B出发，以2cm/s的速度沿BA向点A匀速移动．当△DEF的顶点D移动到AC边上时，△DEF停止移动，点P也随之停止移动．DE与AC相交于点Q，连接PQ，设移动时间为t（s）（0＜t＜4.5）．解答下列问题：
（1）填空：CQ=
t
t
，AQ=
8-t
8-t
（用含t的式子表示）；
（2）当t为何值时，点P在以AQ为直径的⊙M上？
（3）当P、Q、F三点在同一条直线上时，如图（3），求t的值．
（2013•安溪县质检）已知：把Rt△ABC和Rt△DEF按图（a）摆放，点C与点E重合，点B、C（E）、F在同一条直线上，∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，AC=8厘米，BC=6厘米，EF=9厘米．如图（b），△DEF从图（a）的位置出发，以1厘米/秒的速度沿CB向△ABC匀速移动，点P同时从点B出发，以2厘米/秒的速度沿BA向点A匀速移动．当△DEF的顶点D移动到AC边上时移动即停止．记DE与AC相交于点Q，连接PQ，设移动时间为t（秒）（0＜t＜4.5）．求：
（1）当t为何值时，点A在线段PQ的垂直平分线上；
（2）当t为何值时，△APQ与△ABC相似；
（3）当t为何值时，点P、Q、F在同一直线上．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网