题目内容
已知，把Rt△ABC和Rt△DEF按图1摆放，（点C与E点重合），点B、C、E、F始终在同一条直线上，∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，AC=8，BC=6，EF=10，如图2，△DEF从图1出发，以每秒1个单位的速度沿CB向△ABC匀速运动，同时，点P从A出发，沿AB以每秒1个单位向点B匀速移动，AC与△DEF的直角边相交于Q，当P到达终点B时，△DEF同时停止运动，连接PQ，设移动的时间为t（s）．解答下列问题：
（1）△DEF在平移的过程中，当点D在Rt△ABC的边AC上时，求t的值；
（2）在移动过程中，是否存在△APQ为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
（3）在移动过程中，当0＜t≤5时，连接PE，是否存在△PQE为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
（1）△DEF在平移的过程中，当点D在Rt△ABC的边AC上时，求t的值；
（2）在移动过程中，是否存在△APQ为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
（3）在移动过程中，当0＜t≤5时，连接PE，是否存在△PQE为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
分析：（1）根据等腰三角形性质求出即可；
（2）①AP=AQ，求出即可；②AP=PQ，作PH⊥AC于H，根据相似得出比例式，即可求出答案；③AQ=PQ，作PH⊥AC于H，根据相似得出比例式，④当5≤t≤10时，AQ=PQ，作PH⊥BC，PG⊥AC，利用相似与勾股定理，即可求出答案；
（3）分为三种情况，①∠PQE=90°，②∠PEQ=90°，③∠EPQ=90°，根据勾股定理得出方程，求出方程的解，看看是否满足小于10即可．
（2）①AP=AQ，求出即可；②AP=PQ，作PH⊥AC于H，根据相似得出比例式，即可求出答案；③AQ=PQ，作PH⊥AC于H，根据相似得出比例式，④当5≤t≤10时，AQ=PQ，作PH⊥BC，PG⊥AC，利用相似与勾股定理，即可求出答案；
（3）分为三种情况，①∠PQE=90°，②∠PEQ=90°，③∠EPQ=90°，根据勾股定理得出方程，求出方程的解，看看是否满足小于10即可．
解答：解：（1）当D在AC上时，
∵DE=DF，
∴EC=CF=
EF=5，
∴t=5．
（2）存在．
∵AP=t，∠EDF=90°，∠DEF=45°，
∴∠CQE=45°=∠DEF，
∴CQ=CE=t，
AQ=8-t，当0≤t＜5时，
①AP=AQ，
t=8-t，
∴t=4；
②AP=PQ，
作PH⊥AC于H，
AH=HQ=
AQ=4-
t，
∵PH∥BC，
∴△APH∽△ABC，
∴
=
，
∴
=
，
∴t=
；
③AQ=PQ，
作QI⊥AB于I，
AI=PI=
AP=
t（等腰三角形的性质三线合一），
∵∠AIQ=∠ACB=90°，∠A=∠A，
∴△AIQ∽△ACB，
∴
=
，
∴
=
，
∴t=
，
④当5≤t≤10时，AQ=PQ，作PH⊥BC，PG⊥AC，
同理可求出，
FC=QC=10-t，BP=10-t，
PH=
（10-t）=8-
t，
BH=
（10-t）=6-
t，
QG=QC-GC=QC-PH=10-t-（8-
t）=2-
，
PG=HC=6-（6-
t）=
t，
PQ=AQ=8-（10-t）=t-2，
∴PQ 2=PG 2+QG 2，
（t-2）2=（
t） 2+（2-
） 2，
解得：t=
秒，
其它情况不符合要求，
综合上述：当t等于4秒、
秒、
秒、
秒时△APQ是等腰三角形．
（3）由勾股定理：CE=CQ=t，
∵sinA=
=
=
，cosA=
=
=
，
∴PW=
t，AW=
t，
∴QW=8-
t-t=8-
t，
∴PQ2=PM2+QW2=（
t）2+（8-
t）2=
t2-
t+64，
PE2=PH2+EH2=（t+8-
t）2+（t-
t）2=
t2-
t+64，
①∠PQE=90°，
在Rt△PEQ中
PQ2+QE2=PE2，
∴t1=0（舍去） t2=
；
②∠PEQ=90°，
PE2+EQ2=PQ2
t1=0（舍去） t2=20（舍去）
∴此时不存在；
③当∠EPQ=90°时
PQ2+PE2=EQ2，
t1=
（舍去） t2=4，
综合上述：当t=
或t=4时，△PQE是直角三角形．
∵DE=DF，
∴EC=CF=
| 1 |
| 2 |
∴t=5．
（2）存在．
∵AP=t，∠EDF=90°，∠DEF=45°，
∴∠CQE=45°=∠DEF，
∴CQ=CE=t，
AQ=8-t，当0≤t＜5时，
①AP=AQ，
t=8-t，
∴t=4；
②AP=PQ，
作PH⊥AC于H，AH=HQ=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∵PH∥BC，
∴△APH∽△ABC，
∴
| AP |
| AH |
| AB |
| AC |
∴
| t | ||
4-
|
| 10 |
| 8 |
∴t=
| 40 |
| 13 |
③AQ=PQ，
作QI⊥AB于I，
AI=PI=| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∵∠AIQ=∠ACB=90°，∠A=∠A，
∴△AIQ∽△ACB，
∴
| AI |
| AQ |
| AC |
| AB |
∴
| ||
| 8-t |
| 8 |
| 10 |
∴t=
| 64 |
| 13 |
④当5≤t≤10时，AQ=PQ，作PH⊥BC，PG⊥AC，
同理可求出，
FC=QC=10-t，BP=10-t，PH=
| 4 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
BH=
| 3 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
QG=QC-GC=QC-PH=10-t-（8-
| 4 |
| 5 |
| t |
| 5 |
PG=HC=6-（6-
| 3 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
PQ=AQ=8-（10-t）=t-2，
∴PQ 2=PG 2+QG 2，
（t-2）2=（
| 3 |
| 5 |
| t |
| 5 |
解得：t=
| 16 |
| 3 |
其它情况不符合要求，
综合上述：当t等于4秒、
| 40 |
| 13 |
| 64 |
| 13 |
| 16 |
| 3 |
（3）由勾股定理：CE=CQ=t，
∵sinA=
| BC |
| AB |
| 6 |
| 10 |
| PW |
| AP |
| AC |
| AB |
| 8 |
| 10 |
| AW |
| AP |
∴PW=
| 3 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
∴QW=8-
| 4 |
| 5 |
| 9 |
| 5 |
∴PQ2=PM2+QW2=（
| 3 |
| 5 |
| 9 |
| 5 |
| 18 |
| 5 |
| 144 |
| 5 |
PE2=PH2+EH2=（t+8-
| 9 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
| 64 |
| 5 |
①∠PQE=90°，
在Rt△PEQ中
PQ2+QE2=PE2，
∴t1=0（舍去） t2=
| 10 |
| 3 |
②∠PEQ=90°，
PE2+EQ2=PQ2t1=0（舍去） t2=20（舍去）
∴此时不存在；
③当∠EPQ=90°时
PQ2+PE2=EQ2，
t1=
| 40 |
| 3 |
综合上述：当t=
| 10 |
| 3 |
点评：本题综合运用了等腰三角形的判定，直角三角形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识点，此题难度较大，综合性强，用的数学思想是分类讨论思想．
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