题目内容

（2013•安溪县质检）已知：把Rt△ABC和Rt△DEF按图（a）摆放，点C与点E重合，点B、C（E）、F在同一条直线上，∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，AC=8厘米，BC=6厘米，EF=9厘米．如图（b），△DEF从图（a）的位置出发，以1厘米/秒的速度沿CB向△ABC匀速移动，点P同时从点B出发，以2厘米/秒的速度沿BA向点A匀速移动．当△DEF的顶点D移动到AC边上时移动即停止．记DE与AC相交于点Q，连接PQ，设移动时间为t（秒）（0＜t＜4.5）．求：
（1）当t为何值时，点A在线段PQ的垂直平分线上；
（2）当t为何值时，△APQ与△ABC相似；
（3）当t为何值时，点P、Q、F在同一直线上．
分析：（1）因为点A在线段PQ垂直平分线上，所以得到线段相等，可得CE=CQ，用含t的式子表示出这两个线段即可得解；
（2）需要分类讨论：△APQ∽△ABC和△APQ∽△ACB两种情况，由相似三角形的对应边成比例列出相应的比例式，把相关线段的长度代入，易求t的值；
（3）过P作PN⊥AC于N，构建相似三角形：△PAN∽△BAC，则相似三角形的对应边成比例，即
PN
BC
=
AP
AB
=
AN
AC
，所以易得NQ=AQ-AN=8-t-（8-
8
5
t）=
3
5
t．连结QF，当点P、Q、F在同一直线上时，△QCF∽△QNP，则
PN
FC
=
NQ
CQ
，即
6-
6
5
t
9-t
=
3
5
t
t
，由此可以求得t的值．
解答：解：（1）依题意，得EC=QC=t．
∴BE=6-t，AQ=8-t，AB=
BC2+AC2
=10．
∵BP=2t，
∴AP=10-2t．
当点A在线段PQ的垂直平分线上时，AP=AQ，
∴10-2t=8-t，解得t=2，
即当t=2时，点A在线段PQ的垂直平分线上；

（2）∵∠ACB=90°，
∴当∠AQP=90°即△APQ∽△ABC时，
AQ
AP
=
AC
AB
，∴
8-t
10-2t
=
4
5
，解得t=0（舍去）；
当∠APQ=90°即△APQ∽△ACB时，
AP
AQ
=
AC
AB
，∴
10-2t
8-t
=
4
5
，解得t=3，
∴当t=3时，△APQ与△ABC相似；

（3）假设存在某一时刻t，使点P、Q、F三点在同一条直线上；
过P作PN⊥AC于N，∴△PAN∽△BAC，
∴
PN
BC
=
AP
AB
=
AN
AC
，即
PN
6
=
10-2t
10
=
AN
8
，
∴PN=6-
6
5
t，AN=8-
8
5
t，
∴NQ=AQ-AN=8-t-（8-
8
5
t）=
3
5
t．
∵点P、Q、F在同一直线上，
∴△QCF∽△QNP，
∴
PN
FC
=
NQ
CQ
，
∴
6-
6
5
t
9-t
=
3
5
t
t
，
解得t=1
∴当t=1时，P、Q、F三点在同一直线上．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、二次函数的最值、特殊图形的面积的求法等知识，图形较复杂，考查学生数形结合的能力，综合性强，难度较大．
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30
30
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5
5
．
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16
=
4
4
．

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