Question

7．如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，则下列四个结论：①DE=DF；②BE=CF；③AD⊥BC且BD=CD；④∠BDE=∠CDF．其中正确的个数是（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 根据角平分线的性质可得①正确；再由∠DEB=∠DFC=90°，∠B=∠C，根据三角形内角和定理可得③正确；全等三角形对应边相等可得BE=CF，∠BDE=∠CDF可得②④正确；故可得到4个结论均正确．

解答 解：∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，∠B=∠C．
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DE=DF，故①正确；
∵DE⊥AB于E，DF⊥AC，
∴∠DEB=∠DFC=90°．
∵∠DEB=∠DFC=90°，∠B=∠C，
∴∠BDE=∠CDF，即③正确；
在Rt△BDE和Rt△CDF中，$\left\{\begin{array}{l}{BD=CD}\\{DE=DF}\end{array}\right.$
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴∠BDE=∠CDF，故④正确；
BE=CF故②正确．
故选D．

点评 本题考查了等腰三角形三线合一的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线上的点到角的两边的距离相等，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，综合题，但难度不大，熟记各性质是解题的关键．