Question

19．如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，AB⊥y轴于点D，AB=7，点B的横坐标为3，点C坐标为（5，0），连接CB，CB的延长线交y轴于点E，ED=6．
（1）求点D的坐标；
（2）点F在x轴的负半轴上，OF=BD，点P从点C出发沿线段CF以1个单位/秒的速度匀速向终点F运动，同时点Q从O点出发，沿射线OD以1个单位/秒的速度匀速运动，当点P停止运动时点Q也停止运动，连接AQ、PQ，运动时间为t秒．设线段AF、AQ、FP、PQ围成的图形面积为S（S≠0），求S与t之间的关系式；
（3）在（2）的条件下，当点P在线段OF上时，连接FQ、AP，直线AP交y轴于点G，当∠AGQ+∠QAD=∠PAB时，求△PFQ的面积．

Answer 1

分析 （1）根据题意得：BD∥x轴，即BD∥OC，则△EDB∽△EOC，则$\frac{BD}{OC}=\frac{ED}{EO}$，代入可求得OD的长，写出点D的坐标；
（2）分两种情况利用面积和差计算即可得出函数关系式；
（3）先作点G关于AB的对称点M，构造出△AMQ是等腰三角形的两腰相等建立方程求解即可．

解答
解：（1）如图1，∵C的坐标为（5，0），
∴OC=5，
∵点B的横坐标为3，AB⊥y轴与点D，
∴BD=3，BD∥OC，
∴△EDB∽△EOC，
∴$\frac{BD}{OC}=\frac{ED}{EO}$，
∵ED=6，
∴$\frac{3}{5}=\frac{6}{6+OD}$，
∴OD=4，
∴D（0，4）；

（2）由题意得：PC=t，OP=5-t，OQ=t，
∵AB=7，BD=3
∴AD=7-3=4，OF=BD=3
分两种情况：
①当0≤t≤5时，如图2，连接OA，
S=S_△AFO+S_△AQO+S_△POQ
=$\frac{1}{2}$×3×4+$\frac{1}{2}$×t×4+$\frac{1}{2}$×（5-t）×t
S=-$\frac{1}{2}{t}^{2}$+$\frac{9}{2}$t+6
②当5＜t≤8时，如图3，连接OA，

S=S_△AOF+S_△AOQ-S_△POQ
=$\frac{1}{2}$×3×4+$\frac{1}{2}$×t×4-$\frac{1}{2}$×t×（t-5）
S=-$\frac{1}{2}{t}^{2}$+$\frac{9}{2}$t+6
综上所述，S与t之间的关系式为：S=-$\frac{1}{2}{t}^{2}$+$\frac{9}{2}$t+6（0≤t≤8）；
（3）如图4，

作点G关于AB的对称点M，
∴∠MAB=∠GAB，∠AMD=∠AGD，
∵∠AGQ+∠QAD=∠PAB，
∴∠MAQ=∠AMQ，
∴MQ=AQ，
∴MQ²=AQ²，
设点M（0，4+m），∴G（0，4-m），
由（2）知Q（0，t），
∴MQ=m+（4-t），
∴MQ²=[m+（4-t）]²=m²+8m-2mt+（4-t）²，
∵A（-4，4），∴AQ²=16+（t-4）²，
∴m²+8m-2mt+（4-t）²=16+（t-4）²，①
∵G（0，4-m），
∴设直线AG解析式为y=kx+4-m，
∵点A（-4，4），F（5-t，0）在直线AG上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-4k+4-m=4}\\{（5-t）k+4-m=0}\end{array}\right.$，
∴mt+16=9m②，
联立①②得m=2（舍）或m=8，
∴t=7，
∴P（-2，0），Q（0，7），
∵F（-3，0），
∴S_△PFQ=$\frac{1}{2}$PF×OQ=$\frac{1}{2}$×1×7=$\frac{7}{2}$．

点评 此题是三角形综合题，主要考查了三角形的面积公式，等腰三角形的性质，平面坐标系内两点间的距离公式，构造出等腰三角形是解本题关键，用方程的思想解决问题也是解本题的关键，是一道中等难度的中考常考题．