题目内容

已知△ABC中，∠ABC=90゜，AB=BC，点A、B分别是x轴和y轴上的一动点．

（1）如图1，若点C的横坐标为-4，求点B的坐标；
（2）如图2，边BC交x轴于点D，AD平分∠BAC，若点C的纵坐标为10，点A（10+5
2
，0），求点D的坐标；
（3）如图3，等腰直角△ABC在第四象限，在第三象限以线段OB为直角边作等腰直角△OBF，OB=BF，CF交y轴于点M，求
S△BCM
S△ABO
（S表示面积）的值．
考点：全等三角形的判定与性质,坐标与图形性质
专题：
分析：（1）作CD⊥BD，易证∠CBD=∠BAO，即可证明△BAO≌△CBD，可得CD=OB，即可解题；
（2）作CE⊥AD，易证△AOF≌△AOB，可得OB=OF，根据平行线性质可得
OF
CE
=
OB
CE
=
AO
AE
=
OD
DE
，即可求得OE的长，根据相似比即可求得OD的长，即可解题；
（3）易证∠OAB=∠EBG，即可证明△OAB≌△GBE，可得GE=OB，S△OAB=S△GBE，即可证明△FBM≌△EGM，可得BM=MG，可得S△BME=S△GME，即可解题．
解答：解：（1）作CD⊥BD，

∵∠CBD+∠OBA=90°，∠OBA+∠BAO=90°，
∴∠CBD=∠BAO，
∵在△BAO和△CBD中，
∠CDB=∠AOB=90°
∠CBD=∠BAO
BC=AB
，
∴△BAO≌△CBD，（AAS）
∴CD=OB，
∴点B坐标（0，-4）；
（2）作CE⊥AD，

∵在△AOF和△AOB中，
∠OAF=∠OAB
AO=AO
∠FOA=∠BOA
，
∴△AOF≌△AOB，（ASA）
∴OB=OF，
∵CE∥BF，
∴
OF
CE
=
OB
CE
=
AO
AE
=
OD
DE
，
∵tan22.5°=
2
-1，
∴OF=5
2
，
∴AE=10
2
+10，
∴OE=5
2
，
OD
DE
=
OF
CE
=
2
2
，
∴OD=
2
2+
2
OE=10-5
2
，
∴点D坐标（5
2
-10，0）；
（3）图中C点与E点重合，

∵∠ABO+∠EBG=90°，∠ABO+∠OAB=90°，
∴∠OAB=∠EBG，
∵在△OAB和△GBE中，
∠AOB=∠BGE=90°
∠OAB=∠EBG
AB=BE
，
∴△OAB≌△GBE，（AAS）
∴GE=OB，S△OAB=S△GBE，
∵OB=BF，
∴GE=BF，
∵在△FBM和△EGM中，
∠BMF=∠GME
∠FBM=∠EGM=90°
BF=EG
，
∴△FBM≌△EGM，（AAS）
∴BM=MG，
∴S△BME=S△GME，
∴
S△BCM
S△ABO
=
S△BME
S△BGE
=
1
2
．
点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△BAO≌△CBD、△AOF≌△AOB、△FBM≌△EGM是解题的关键．
练习册系列答案
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在△ABC中，AD⊥BC于D点，BE为中线，且∠CBE=30°．求证：AD=BE．
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（1）如图1，当点D在线段CB上，且∠BAC=90°时，那么∠DCE=
 
度；
（2）设∠BAC=α，∠DCE=β．
①如图2，当点D在线段CB上，∠BAC≠90°时，请你探究α与β之间的数量关系，并证明你的结论；
②如图3，当点D在线段CB的延长线上，∠BAC≠90°时，请将图3补充完整，并直接写出此时α与β之间的数量关系（不需证明）
解方程：
（1）10y+2（7y-2）=5（4y+3）+3y；
（2）
x+1
2
-
5+x
6
=3-
x-1
3
．
当a=
1
2
，b=-4时，求（
2
9
a4b7+0.5a3b8-
1
9
a2b6）÷（-
1
3
ab3）2的值．
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．

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