Question

如图，菱形ABCD中，CF⊥AD垂足为E，交BD的延长线于F，求证：AO²=BO•OF．

Answer 1

考点：菱形的性质,相似三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：运用菱形的性质证明∠F=∠DCO，此为解决该题的关键结论；证明△DOC∽△COF，结合BO=DO，AO=CO，即可解决问题．

解答：解：∵四边形ABCD是菱形，
∴DO⊥CO，AO=CO；DA=DC，
∴∠DAC=∠DCA；
∵CF⊥AD，
∴∠F+∠ECA=∠DAC+∠ECA，
∴∠F=∠DAC；而∠DAC=∠DCA，
∴∠F=∠DCO；而∠DOC=∠COF，
∴△DOC∽△COF，
∴CO：FO=DO：CO，而BO=DO，AO=CO，
∴AO²=BO•OF．

点评：该题主要考查了菱形的性质、相似三角形的判定及其性质等几何知识点的应用问题；深入把握题意，大胆猜测推理、科学求解论证是解题的关键．