Question

如图，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BE、CF分别平分∠ABC、∠ACB，交AC、AB于点E、F，BE，CF交于点O，求证：OE=OF．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：在BC上找到一点G，使得CG=CE，易证∠OCE=∠OCG即可证明△OCE≌△OCG，可得∠COE=∠COG，OE=OG，即可求得∠BOG=∠BOF，即可证明△BOG≌△BOF，可得OF=OG，即可解题．

解答：证明：在BC上找到一点G，使得CG=CE，

∵CF平分∠ACB，
∴∠OCE=∠OCG=45°，
在△OCE和△OCG中，

CE=CG ∠OCE=∠OCG OC=OC

，
∴△OCE≌△OCG（SAS），
∴∠COE=∠COG，OE=OG，
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE=∠ABE=15°，
∴∠BEC=75°，
∴∠COE=∠COG=60°，
∴∠BOG=∠BOF=60°，
在△BOG和△BOF中，

∠BOG=∠BOF BO=BO ∠CBE=∠ABE

，
∴△BOG≌△BOF（ASA），
∴OF=OG，
∴OE=OF．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，考查了三角形内角和为180°的性质，本题中求证△OCE≌△OCG和△BOG≌△BOF是解题的关键．