Question

20．如图，△ABC绕顶点A顺时针旋转α（0°≤α≤180°）后得到△AB′C若∠B=40°，∠C=30°，请直接回答下列问题：
①当α等于多少度时，旋转后的△AB′C′的边AC′与BC垂直？
②当α等于多少度时，点A，B，C′在同一直线上？
③当α等于多少度时，△ABC与△AB′C′有一条边平行？

Answer 1

分析 ①当AC′与BC垂直时，∠CDA=90°，则∠a=∠CAD=90°-∠C，据此即可求解；
②当点A，B，C′在同一直线上时，∠CAB就是旋转角，利用三角形内角和定理即可求解；
③当△ABC与△AB′C′有一条边平行时，可以分成AB'∥BC，AC'∥BC，BC∥B'C'三种情况进行讨论，利用平行线的性质求解．

解答 解：①当AC′与BC垂直时，∠CDA=90°，则∠CAD=90°-∠C=90°-30°=60°，
即a=60°；
②∠CAB=180°-∠C-∠B=180°-40°-30°=110°，
则当a=110°时，A，B，C′在同一直线上；
③当△ABC与△AB′C′有一条边平行时，
当AB'∥BC时，如图2．
则∠CAB'=180°-∠C=180°-30°=150°，
∠a=∠BAB'=∠CAB'-∠CAB=150°-110°=40°．
当AC'∥BC时，如图3，∠a=∠CAC'=180°-∠C=150°；
当BC∥B'C'时，如图4．旋转∠a=180°．

点评 本题考查了旋转的性质以及平行线的性质，正确对两个三角形的边的平行关系是关键．