Question

12．如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=6cm，AD=2cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以2cm/s的速度向终点B移动，点Q以1cm/s的速度向终点D移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为t 求：
（1）当t=1s时，求四边形BCQP的面积？
（2）当t为何值时，点P与点Q之间的距离为$\sqrt{5}$cm？
（3）当t=$\frac{6}{5}$或$\frac{-6+2\sqrt{33}}{3}$或$\frac{3+\sqrt{7}}{2}$或$\frac{3-\sqrt{7}}{2}$时，以点P，Q，D为顶点的三角形是等腰三角形．

Answer 1

分析 （1）先求出BP，CQ，再直接用梯形的面积公式即可；
（2）先表示出QG，再用勾股定理即可建立方程求解即可；
（3）分PD=PQ，PD=DQ，PQ=DQ三种情况，建立方程求解即可．

解答 解：由运动知，AP=2t，CQ=t，（0≤t≤3），
∴PB=AB-AP=6-2t，DQ=CD-CQ=6-t，
（1）当t=1时，PB=6-2t=4，CQ=t=1，
∵BC=2，
∴S_{四边形BCQP}=$\frac{1}{2}$（PB+CQ）×BC=$\frac{1}{2}$×（4+1）×2=5，
（2）如图1，过点P作PG⊥CD，
∴PG=AD=2，
∴QG=DQ-DG=DQ-AP=6-t-2t=6-3t，
根据勾股定理得，PG²+QG²=PQ²，
∴4+（6-3t）²=5，
∴t=$\frac{5}{3}$或t=$\frac{7}{3}$．
（3）如图2，连接DP，过点P作PG⊥CD，
∵点P，Q，D为顶点的三角形是等腰三角形．
∴①当PD=PQ时，即：PD²=PQ²，
在Rt△APD中，AD=2，AP=2t，
∴PD²=AD²+AP²=4+4t²，
由（2）知，PQ²=PG²+QG²=4+（6-3t）²，
∴4+4t²=4+（6-3t）²，
∴t=6（舍）或t=$\frac{6}{5}$，
当PD=DQ时，即：PD²=DQ²，
∴4+4t²=（6-t）²，
∴t=$\frac{-6-2\sqrt{33}}{3}$（舍）或t=$\frac{-6+2\sqrt{33}}{3}$，
当PQ=DQ时，
∴PQ²=DQ²，
∴4+（6-3t）²=（6-t）²，
∴t=$\frac{3+\sqrt{7}}{2}$或t=$\frac{3-\sqrt{7}}{2}$，
即：满足条件的t的值为$\frac{6}{5}$或$\frac{-6+2\sqrt{33}}{3}$或$\frac{3+\sqrt{7}}{2}$或$\frac{3-\sqrt{7}}{2}$，
故答案为：$\frac{6}{5}$或$\frac{-6+2\sqrt{33}}{3}$或$\frac{3+\sqrt{7}}{2}$或$\frac{3-\sqrt{7}}{2}$，

点评 此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解本题的关键是用时间表示出PQ，DQ，PD，用方程的思想是解本题的难点．