Question

3．如图，二次函数y=-x²+3x+m的图象与x轴的一个交点为B（4，0），另一个交点为A，且与y轴相交于C点
（1）求m的值及C点坐标；
（2）在直线BC上方的抛物线上是否存在一点M，使得它与B，C两点构成的三角形面积最大，若存在，求出此时M点坐标；若不存在，请简要说明理由
（3）P为抛物线上一点，它关于直线BC的对称点为Q
①当四边形PBQC为菱形时，求点P的坐标；
②点P的横坐标为t（0＜t＜4），当t为何值时，四边形PBQC的面积最大，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）用待定系数法求出抛物线解析式；
（2）先判断出面积最大时，平移直线BC的直线和抛物线只有一个交点，从而求出点M坐标；
（3）①先判断出四边形PBQC时菱形时，点P是线段BC的垂直平分线，利用该特殊性建立方程求解；
②先求出四边形PBCQ的面积与t的函数关系式，从而确定出它的最大值．

解答 解：（1）将B（4，0）代入y=-x²+3x+m，
解得，m=4，
∴二次函数解析式为y=-x²+3x+4，
令x=0，得y=4，
∴C（0，4），
（2）存在，
理由：∵B（4，0），C（0，4），
∴直线BC解析式为y=-x+4，
当直线BC向上平移b单位后和抛物线只有一个公共点时，△MBC面积最大，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+4+b}\\{y=-{x}^{2}+3x+4}\end{array}\right.$，
∴x²-4x+b=0，
∴△=16-4b=0，
∴b=4，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=6}\end{array}\right.$，
∴M（2，6），
（3）①如图，

∵点P在抛物线上，
∴设P（m，-m²+3m+4），
当四边形PBQC是菱形时，点P在线段BC的垂直平分线上，
∵B（4，0），C（0，4）
∴线段BC的垂直平分线的解析式为y=x，
∴m=-m²+3m+4，
∴m=1±$\sqrt{5}$，
∴P（1+$\sqrt{5}$，1+$\sqrt{5}$）或P（1-$\sqrt{5}$，1-$\sqrt{5}$），
②如图，

设点P（t，-t²+3t+4），
过点P作y轴的平行线l，过点C作l的垂线，
∵点D在直线BC上，
∴D（t，-t+4），
∵PD=-t²+3t+4-（-t+4）=-t²+4t，
BE+CF=4，
∴S_{四边形PBQC}=2S_△PCB=2（S_△PCD+S_△PBD）=2（$\frac{1}{2}$PD×CF+$\frac{1}{2}$PD×BE）=4PD=-4t²+16t，
∵0＜t＜4，
∴当t=2时，S_{四边形PBQC最大}=16

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，极值的确定，对称性，面积的确定，解本题的关键是确定出△MBC面积最大时，点P的坐标．