题目内容

2．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，以直角边BC为直径的⊙O交AB于点D，连接CD，∠CAB的角平分线交CD于点E，交BC于点F，交⊙O于点P．
（1）求证：$\frac{AE}{AF}$=$\frac{CF}{BF}$；
（2）若tan∠CAB=$\frac{4}{3}$，求sin∠CAP的值；
（3）连接PC、PB，若∠ABC=30°，AB=2$\sqrt{3}$，求△PCF的面积．

分析 （1）先利用直角三角形的性质和同角的余角相等判断出，∠ACD=∠ABC，进而得出△ACE∽△ABF即可得出$\frac{AC}{AB}$=$\frac{AE}{AF}$，再用角平分线定理得出$\frac{AC}{AB}=\frac{CF}{BF}$，结论得证．
（2）根据锐角三角函数的定义，设出AC=3x，得出BC，AC，借助（1）的结论求出CF，再根据勾股定理求出AF即可得出结论；
（3）利用直角三角形的两锐角互余得出，∠BAC=60°，CAP=30°，∠FCM=30°，∠FON=30°再用含30°的直角三角形的三边关系，依次求出AC=$\sqrt{3}$，CF=1，OF=$\frac{1}{2}$，ON=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，再用勾股定理即可求出PN=$\frac{\sqrt{33}}{4}$，最后用三角形的面积公式，即可得出结论．

解答 解：（1）证明：∵BC是⊙O直径，
∴∠BDC=90°，
∴∠ABC+∠BCD=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠ACD=∠ABC，
∵∠CAB的角平分线交CD于点E，交BC于点F，
∴∠CAE=∠BAF，
∴△ACE∽△ABF，
∴$\frac{AC}{AB}$=$\frac{AE}{AF}$，
∵AF是∠BAC的角平分线，
∴$\frac{AC}{AB}=\frac{CF}{BF}$，
∴$\frac{AE}{AF}$=$\frac{CF}{BF}$；
（2）在Rt△ABC中，tan∠CAB=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{4}{3}$，
设AC=3x，∴BC=4x，
根据勾股定理得，AB=5x，
由（1）知，$\frac{AC}{AB}=\frac{CF}{BF}$，
∴$\frac{3x}{5x}=\frac{CF}{BF}$，
∴$\frac{CF}{BF}=\frac{3}{5}$，
∵CF+BF=BC=4x，
∴CF=$\frac{3}{2}$x，BF=$\frac{5}{2}$x，
在Rt△CAF中，CF=$\frac{3}{2}$x，AC=3x，
根据勾股定理得，AF=$\sqrt{A{C}^{2}+C{F}^{2}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$x，
∴sin∠CAP=$\frac{CF}{AF}$=$\frac{\frac{3}{2}x}{\frac{3\sqrt{5}}{2}x}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$；
（3）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=30°，AB=2$\sqrt{3}$，
∴AC=$\frac{1}{2}$AB=$\sqrt{3}$，BC=$\sqrt{3}$AC=3，∠BAC=60°，
∴OC=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{3}{2}$，
∵AF是∠BAC的平分线，
∴∠CAP=∠BAP=$\frac{1}{2}$∠BAC=30°，
过点C作CM⊥AP于M，过O作ON⊥AP于N，连接OP，
在Rt△ACM中，CM=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∠ACM=60°，
∵∠ACB=90°，
∴∠FCM=∠ACB-∠ACM=30°，
在Rt△CMF中，∠FCM=30°，CM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠CFM=90°-∠FCM=60°，CF=1，
∴OF=OC-CF=$\frac{1}{2}$，
在Rt△OFN中，∠FON=90°-∠OFN=30°，OF=$\frac{1}{2}$，
∴FN=$\frac{1}{2}$OF=$\frac{1}{4}$，
∴ON=$\sqrt{3}$FN=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
在Rt△ONP中，OP=OC=$\frac{3}{2}$，ON=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴PN=$\sqrt{O{P}^{2}-O{N}^{2}}$=$\frac{\sqrt{33}}{4}$，
∴PF=FN+PN=$\frac{1}{4}$+$\frac{\sqrt{33}}{4}$，
∴S△PCF=$\frac{1}{2}$PF•CM=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{4}$+$\frac{\sqrt{33}}{4}$）×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}+3\sqrt{11}}{16}$．
∴△PCF的面积是$\frac{\sqrt{3}+3\sqrt{11}}{16}$．

点评 此题是圆的综合题，主要考查了角平分线定理，相似三角形的判定和性质，直角三角形的两锐角互余，勾股定理，含30°角的直角三角形的性质，锐角三角函数等知识点，解本题的关键是含30°的直角三角形的灵活运用，借助中间比是判断四段线段成比例常用的方法，是一道中等难道的题目．

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