Question

6．如图，一次函数y₁=k₁x+b的图象与反比例函数y₂=$\frac{{k}_{2}}{x}$的图象相交于A，B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，点B的坐标是（m，-4），连接AO，AO=5，sin∠AOC=$\frac{3}{5}$．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）连接OB，求△AOB的面积；
（3）请直接写出当x＜m时，y₂的取值范围．

Answer 1

分析 （1）过点A作AE⊥x轴于点E，在Rt△AEO中，通过解直角三角形可求出点A的坐标，由反比例函数图象上点的坐标特征即可求出反比例函数的解析式；
（2）由反比例函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，根据点A、B的坐标，利用待定系数法可求出直线AB的解析式，再根据一次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标，利用三角形的面积公式即可求出△AOB的面积；
（3）观察函数图象可得出：x＜0以及0＜x＜3时，y₂的取值范围，合在一起即可得出结论．

解答 解：（1）过点A作AE⊥x轴于点E，如图所示．
在Rt△AEO中，AO=5，sin∠AOC=$\frac{3}{5}$，
∴AE=AO•sin∠AOC=5×$\frac{3}{5}$=3，
∴OE=$\sqrt{A{O}^{2}-A{E}^{2}}$=4，
∴点A的坐标为（-4，3）．
∵点A在反比例函数y₂=$\frac{{k}_{2}}{x}$的图象上，
∴k₂=-4×3=-12，
∴反比例函数的解析式为y₂=-$\frac{12}{x}$．

（2）∵点B（m，-4）反比例函数y₂=-$\frac{12}{x}$的图象上，
∴-4=-$\frac{12}{m}$，解得：m=3，
∴点B的坐标为（3，-4）．
将A（-4，3）、B（3，-4）代入y₁=k₁x+b中，
$\left\{\begin{array}{l}{-4{k}_{1}+b=3}\\{3{k}_{1}+b=-4}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}=-1}\\{b=-1}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为y=-x-1．
当y=-x-1=0时，x=-1，
∴点C的坐标为（-1，0），
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$OC•（y_A-y_B）=$\frac{1}{2}$×1×[3-（-4）]=$\frac{7}{2}$．

（3）观察函数图象可知：当x＜0时，y₂＞0；当0＜x＜3时，y₂＜-4．
∴当x＜3时，y₂＞0或y₂＜-4．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求一次函数解析式、反比例（一次）函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，解题的关键是：（1）通过解直角三角形找出点A的坐标；（2）根据点A、B的坐标，利用待定系数法求出直线AB的解析式；（3）观察函数图象，找出当x＜m时，y₂的取值范围．