Question

12．如图，抛物线与x轴交于A、B，与y轴交于C，且OA=1，OB=OC=3，抛物线的对称轴与x轴交于D，点M从O出发，以每秒1个单位长度的速度向B运动到B点止，过M作x轴的垂线交抛物线于点P，交BC于点Q
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）设M点运动了x秒时，△BCP的面积为S，求S关于x的函数关系式，并求当S最大时，点P的坐标；
（3）当M点运动多长时间时，△DBQ是等腰三角形？

Answer 1

分析 （1）根据OA=1，OB=OC=3得出A、B、C三点的坐标，再用待定系数法求解即可；
（2）${S}_{△BCP}=\frac{1}{2}（{x}_{B}-{x}_{C}）×（{y}_{P}-{y}_{Q}）$；由于B、C坐标已知，所以只需表示出P、Q两点的纵坐标之差即可，而P、Q、M三点的横坐标相同，因此，设出M点的横坐标，将P、Q两点的纵坐标用横坐标表示，这样就把△BCP的面积表示成了关于M点的横坐标的二次函数，配方即可求出最大值，同时可求出P点坐标；
（3）分三种情况分别讨论：DB=DQ；BD=BQ；QB=QD．

解答 解：（1）∵OA=1，OB=OC=3，
∴A（-1，0），B（3，0），C（0，3），
设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3），
将C点的坐标代入解析式可得：a=-1，
∴抛物线的解析式为：y=-x²+2x+3；
（2）∵B（3，0），C（0，3），
∴BC的解析式为y=-x+3，
设M点的坐标为（m，0），则P（m，-m²+2m+3），Q（m，-m+3），
∴S=${S}_{△BCP}=\frac{1}{2}（{x}_{B}-{x}_{C}）×（{y}_{P}-{y}_{Q}）$=$\frac{3}{2}×（-{m}^{2}+2m+3+m-3）$=$-\frac{3}{2}{m}^{2}+\frac{9}{2}m$=$--\frac{3}{2}{（m-\frac{3}{2}）}^{2}+\frac{27}{8}$，
∴当m=$\frac{3}{2}$，${S}_{max}=\frac{27}{8}$，
此时，P点的坐标为（$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$）；
（3）∵y=-x²+2x+3=4-（x-1）²+4，
∴D（1，4），
∴BD=2．
设运动时间为t，则M（t，0），则Q（t，-t+3），QM=-t+3；
①若DB=DQ，如图1，

则MD=1-t，
MD²+QM²=QD²，
即：（1-t）²+（-t+3）²=4，
解得：t=1或t=3（舍去）；
②若BD=BQ，如图2，

则$\frac{QM}{QB}=\frac{OC}{BC}$，
即：$\frac{-t+3}{2}=\frac{3}{3\sqrt{2}}$，
解得：t=3-$\sqrt{2}$；
③若QB=QD，如图3，

则BM=$\frac{1}{2}BD=1$，
$\frac{QM}{MB}=\frac{OC}{OB}$，
即：$\frac{-t+3}{1}=\frac{3}{3}$，
解得：t=2；

综上所述：当M运动时间为：1秒、（3-$\sqrt{2}$）秒、2秒时，△DBQ是等腰三角形．

点评 本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、三角形面积的坐标表示法、配方法求二次函数最值、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程等多个知识点，有一定综合性，难度适中．第（2）问与第（3）问是高频考点，要引起高度重视，并熟练掌握这类问题的处理技巧．