Question

17．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，翻折∠C，使点C落在斜边AB上某一点D处，折痕为EF（点E，F分别在边AC，BC上），给出以下判断：
①当CD⊥AB时，EF为△ABC的中位线；
②当四边形CEDF为矩形时，AC=BC；
③当点D为AB的中点时，△CEF与△ABC相似；
④当△CEF与△ABC相似时，点D为AB的中点．
其中正确的是①②③（吧所有正确的结论的序号都填在横线上）．

Answer 1

分析 ①如图1，根据折叠的性质得到CE=DE，根据直角三角形的性质即可得到结论；
②根据矩形的性质得到CE=DE，折叠四边形CEDF是正方形，根据任意一个直角三角形都有一个内接正方形即可得到结论；
③如图2，连接CD，与EF交于点Q，根据直角三角形的性质得到CD=DB=$\frac{1}{2}$AB，于是得到∠DCB=∠B，由轴对称的性质得到∠CQF=∠DQF=90°，推出∠DCB+∠CFE=90°，由于∠B+∠A=90°，于是得到∠CFE=∠A，即可得到结论；
④由相似三角形的性质得到∠EFD=∠CAB，∠EDF=∠ECF=90°，推出C，E，D，F四点共圆，根据圆周角定理得到∠ACD=∠EFD，等量代换得到∠ACD=∠A，根据等腰三角形的性质得到AD=CD，同理CD=BD，即可得到结论．

解答 证明：①如图1，∵翻折∠C，使点C落在斜边AB上某一点D处，折痕为EF，
∴CE=DE，
∵CD⊥AB，
∴DE=AE，
∴AE=CE，同理CF=BF，
∴EF为△ABC的中位线；故①正确；
②∵矩形CEDF是正方形，∴DE=DF，DE∥BC，DF∥AC，
∴BC=2DE，AC=2DF，∴AC=BC；
故②正确；
③当点D是AB的中点时，△CEF与△ABC相似，
理由如下：如图2，连接CD，与EF交于点Q，
∵CD是Rt△ABC的中线，
∴CD=DB=$\frac{1}{2}$AB，
∴∠DCB=∠B，
由轴对称的性质可知，∠CQF=∠DQF=90°，
∴∠DCB+∠CFE=90°，
∵∠B+∠A=90°，
∴∠CFE=∠A，
又∵∠C=∠C，
∴△CEF∽△CBA；故③正确；
④∵△CEF与△ABC相似，
∴∠EFD=∠CAB，∠EDF=∠ECF=90°，
∴C，E，D，F四点共圆，
∴∠ACD=∠EFD，
∴∠ACD=∠A，
∴AD=CD，同理CD=BD，
∴点D为AB的中点，
当△ABC∽△EFC时，
点D不是AB的中点，
故答案为：①②③．

点评 本题主要考查了折叠的性质，勾股定理和相似三角形的判定与性质，难度适中．运用分类讨论及数形结合思想是解题的关键．