题目内容

如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，P是斜边AB上的一个动点（点P与点A、B不重合），以点P为圆心，PA为半径的⊙P与射线AC的另一个交点为D，射线PD交射线BC于点E．
（1）如图1，若点E在线段BC的延长线上，设AP=x，CE=y，

①求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
②当以BE为直径的圆和⊙P外切时，求AP的长；
（2）设线段BE的中点为Q，射线PQ与⊙P相交于点I，若CI=AP，求AP的长．
(1)①（）,②AP=;(2)AP的长为或．

试题分析：（1）①由AP=DP得到∠PAD=∠PDA，由对顶角相等得∠PDA=∠CDE，则∠PAD=∠CDE，根据三角形相似的判定方法得到△ABC∽△DEC，则∠ABC=∠DEC，BC:CE＝DE:AB，且得到PB=PE．在Rt△ABC中根据勾股定理计算出AB=5，则PB=PE=5-x，DE=5-2x，然后利用相似比即可得到y关于x的函数关系式；
②设BE的中点为Q，连结PQ，由于PB=PE，根据等腰三角形的性质得PQ⊥BE，易得PQ∥AC，则△BPQ∽△BAC，利用相似比得到PQ=-x+4（圆心距），BQ=-x+3（⊙Q的半径），根据两圆外切的性质得到-x+4=x+(-x+3），然后解方程即可；
（2）分类讨论：当点E在线段BC延长线上时，利用（1）②的结论可得IQ=PQ-PI=-x+4，CQ=BC-BQ=x，在Rt△CQI中，根据勾股定理得CI2=CQ2+IQ2=（x）2+（-x+4）2=x2-x+16，再由CI=AP得到x2-x+16=x2，解得x1=，x2=4，由于0＜x＜，由此得到AP的长为;同理当点E在线段BC上时，IQ=PI-PQ=x-4，CQ=BC-BQ=x，在Rt△CQI中，CI2=CQ2+IQ2=x2-x+16，利用CI=AP得到x2-
x+16=x2，解得x1=，x2=4，由于＜x＜5，则AP的长为4，由此得到AP的长为或4．
试题解析：
解：（1）①∵AP=DP，∴∠PAD=∠PDA．
∵∠PDA=∠CDE，∴∠PAD=∠CDE．
∵∠ACB=∠DCE=90°，∴△ABC∽△DEC．
∴∠ABC=∠DEC，．
∴PB=PE．
Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC=4，BC=3，∴AB=5．
又AP=x，∴PB=PE=5-x，DE=5-2x，
∴
∴（）．
②设BE的中点为Q，联结PQ．
∵PB=PE，∴PQ⊥BE，又∵∠ABC=90°，∴PQ∥AC，
∴，∴，
∴，．
当以BE为直径的圆和⊙P外切时， ．
解得，即AP的长为．
（2）如果点E在线段BC延长线上时，
由（1）②的结论可知，
．
在Rt△CQI中，
．
∵CI=AP，∴，
解得，（不合题意，舍去）．
∴AP的长为．
同理，如果点E在线段BC上时，
，
．
在Rt△CQI中，．
∵CI=AP，
∴，解得（不合题意，舍去），．
∴AP的长为4．
综上所述，AP的长为或．
练习册系列答案
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如图所示，AB为⊙O的直径，P点为其半圆上一点，∠POA=40°，C为另一半圆上任意一点（不含A、B），则∠PCB＝      度．
如图，在中，以为直径的交于点，点为的中点，连结交于点，且.

（1）判断直线与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若的半径为2,,求的长.
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如图,AB为⊙O的直径,D为⊙O上一点,DE是⊙O的切线,DE⊥AC交AC的延长线于点E,FB是⊙O的切线交AD的延长线于点F.

（1）求证:AD平分∠BAC;
（2）若DE＝3,⊙O的半径为5,求BF的长.
如图，正三角形ABC内接于圆O，动点P在圆上，且不与B、C重合，则∠BPC等于（　　）

A．30°           B． 60°           C．60°或120°           D．120°
如图,是⊙的直径,弦⊥,∠＝30°,＝2 ,则阴影部分图形的面积为
A．4πB．2πC．πD．
如图，、是⊙O的两条切线，是切点，是⊙的直径，若∠40°，求∠的度数.
在边长为3，4，5的三角形白铁皮上剪下一个最大的圆，此圆的半径为______.

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