Question

如图,AB为⊙O的直径,D为⊙O上一点,DE是⊙O的切线,DE⊥AC交AC的延长线于点E,FB是⊙O的切线交AD的延长线于点F.

（1）求证:AD平分∠BAC;
（2）若DE＝3,⊙O的半径为5,求BF的长.

Answer 1

(1)证明见解析;（2）BF=．

试题分析:（1）连接BC、OD,由D是弧BC的中点,可知:OD⊥BC;由OB为⊙O的直径,可得:BC⊥AC,根据DE⊥AC,可证OD⊥DE,从而可证DE是⊙O的切线;
（2）在Rt△ABC中,运用勾股定理可将爱那个AC的长求出,运用切割线定理可将AE的长求出,根据△AED∽△ABF,可将BF的长求出．
试题解析:（1）连接OD,BC,OD与BC相交于点G,

∵D是弧BC的中点,
∴OD垂直平分BC,
∵AB为⊙O的直径,
∴AC⊥BC,
∴OD∥AE．
∵DE⊥AC,
∴OD⊥DE,
∵OD为⊙O的半径,
∴DE是⊙O的切线．
（2）由（1）知:OD⊥BC,AC⊥BC,DE⊥AC,
∴四边形DECG为矩形,
∴CG=DE=3,
∴BC=6．
∵⊙O的半径为5,
∴AB=10,
∴AC==8,
由（1）知:DE为⊙O的切线,
∴DE²=EC•EA,即3²=（EA﹣8）EA,
解得:AE=9．
∵D为弧BC的中点,
∴∠EAD=∠FAB,
∵BF切⊙O于B,
∴∠FBA=90°．
又∵DE⊥AC于E,
∴∠E=90°,
∴∠FBA=∠E,
∴△AED∽△ABF,
∴,
∴BF=．
考点:1.切线的判定,2.勾股定理,3.圆周角定理,4.相似三角形的判定与性质．