Question

如图，⊙O₁与⊙O₂外切于P，⊙O₁，⊙O₂的半径分别为2，1．O₁A为⊙O₂的切线，AB为⊙O₂的直径，O₁B分别交⊙O₁，⊙O₂于C，D，则CD+3PD的值为（　　）

• A、

  7

  3

• B、

  5 2

  3

• C、

  2 11

  3

• D、

  4 3

  3

Answer 1

分析：分别求出CD和PD的长度，再计算CD+3PD：
（1）由相似关系求PD的长度．连接O₁O₂，则O₁O₂过P点，三角形O₁PD相似于O₁BO₂，由相似关系求出PD；
（2）由切割线定理求CD的长度．这个要分两步做：
①由勾股定理求出O₁A、O₁B的长度．在直角三角形O₁O₂A和O₁AB中，分别用勾股定理求出O₁A、O₁B的长度；
②由切割线定理求O₁D的长度．由切割线定理O₁A²=O₁D•O₁B，所以O₁D可求出来．而O₁D=O₁C+CD=2+CD，故CD可求．

解答：解：连接O₁O₂，
∵AO₂=1，O₁O₂=3，
∴AO₁=

32-1

=2

2

，
∴BO₁=

O1A2+AB2

=

8+4

=2

3

，
∴由切割线定理O₁A²=O₁D•O₁B，得O₁D=

8

2 3

=

4 3

3

，
∴CD=O₁D-O₁C=

4 3

3

-2，
又∵cos∠O₂O₁B=

9+12-1

12 3

=

5 3

9

，
则PD²=4+

16

3

-

16 3

3

cos∠O₂O₁B=4+

16

3

-

16 3

3

×

5 3

9

=

4

9

，
∴PD=

2

3

，
∴CD+3PD=

4 3

3

-2+3×

2

3

=

4 3

3

．
故选D．

点评：本题考查了相切两圆的性质，三角形的相似以及性质，是重点知识，要熟练掌握．