Question

20．如图，在△ABC中，AB=AC，P为△ABC内一点，且∠BAP=70°，∠ABP=40°．
（1）求证：△ABP是等腰三角形．
（2）在BC上方，以BC为边作等边三角形BCE，连接EA并延长交BC于M，连接PC，当∠PCB=30°时，求证：PC=EA．

Answer 1

分析 （1）根据三角形内角和定理求出∠APB，得出∠APB=∠BAP，即可得出答案．
（2）延长CP交BE于N，先证明△BEM≌△BCN再证明△ABM≌△PBN最后证明△EBA≌△CBP即可．

解答 解：（1）在△PAB中，∵∠BAP=70°，∠ABP=40°，
∴∠APB=180°-∠BAP-∠ABP=70°．
∴∠APB=∠BAP=70°．
∴AB=BP，
即△ABP是等腰三角形．
（2）延长CP交BE于N，
∵△EBC是等边三角形，
∴EB=EC，∠EBC=∠ECB=∠BEC=60°，
∵AB=AC
∴EA垂直平分BC，
∴∠BEM=∠CEM=30°，
∵∠BCP=30°，
∴∠CNB=90°，
在△BEN和△BCN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BEM=∠BCN}\\{BE=BC}\\{∠EBM=∠CBN}\end{array}\right.$，
∴△BEM≌△BCN，
∴BN=BM，
在RT△ABM和RT△PBN中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BP}\\{BM=BN}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△PBN，
∴∠ABM=∠PBN，
∴∠EBA=∠CBP，
在△EBA和△CBP中，
$\left\{\begin{array}{l}{EB=BC}\\{∠EBA=∠CBP}\\{BA=BP}\end{array}\right.$，
∴△EBA≌△CBP，
∴AE=PC．

点评 本题考查等边三角形性质．全等三角形的判定和性质，灵活运用三角形全等是解题关键．