Question

5．如图，四边形ABEC中，BE=CE，∠BAC=40°，∠CEB=140°，点D为AE上一点，点P为射线AB上一动点，且△PAD是等腰三角形．
（1）求证：AE平分∠CAB；
（2）求∠APD的度数．

Answer 1

分析 （1）关键是作辅助线，作EF⊥AC交AC的延长线于点F，作EG⊥AB交AB于点G，画出相应的图形，找出证明△ECF和△EBG全等的条件，然后根据在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上，可以证得结论成立；
（2）根据题意可以分两种情况，分别画出相应的图形，然后根据等腰三角形的性质和第一问求得的结论，可以求出∠APD的度数．

解答 （1）证明：作EF⊥AC交AC的延长线于点F，作EG⊥AB交AB于点G，如下图一所示，

∴∠ECF=∠EGB=90°，
∵∠BAC=40°，∠CEB=140°，∠CAB+∠B+∠BEC+∠ECA=360°，
∴∠B+∠ECA=180°，
∵∠ECA+∠ECF=180°，
∴∠B=∠ECF，
在△ECF和△EBG中
$\left\{\begin{array}{l}{∠EGB=∠EFC}\\{∠ECF=∠B}\\{BE=CE}\end{array}\right.$
∴△ECF≌△EBG（AAS）
∴EF=EG，
∵EF⊥AC交AC的延长线于点F，EG⊥AB交AB于点G，
∴AE是∠CAB的平分线，
即AE平分∠CAB；
（2）由题意可得，∠APD存在两种情况，
第一种情况，当AP=PD时，如下图二所示，

∵AP=PD，
∴∠DAP=∠ADP，
∵∠BAC=40°，AE平分∠CAB，
∴∠DAP=20°，
∴∠DAP=∠ADP=20°，
∴∠APD=180°-∠DAP-∠ADP=140°；
第二种情况，当AD=DP时，如下图三所示，

∵AD=PD，
∴∠DAP=∠APD，
∵∠BAC=40°，AE平分∠CAB，
∴∠DAP=20°，
∴∠DAP=∠APD=20°，
即∠APD=20°；
由上可得，∠APD的度数是140°或20°．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、角平分线的性质，解题的关键是明确题意，画出合适的图形，找出所求结论或问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．