题目内容

观察下列算式1-
1
22
=
3
4
=
1
2
×
3
2
，（1-
1
22
）（1-
1
32
）=
3
4
×
8
9
=
1
2
×
3
2
×
2
3
×
4
3
，…
（1）研究上述算式，你发现什么规律？请用你的发现计算：（1-
1
22
）（1-
1
32
）（1-
1
42
)…(1-
1
1002
）；
（2）计算：（1-
1
22
）（1-
1
32
）（1-
1
42
)…(1-
1
n2
）（n是正整数）．
分析：由（1-
1
22
）（1-
1
32
）=
3
4
×
8
9
=
1
2
×
3
2
×
2
3
×
4
3
知，（1-
1
22
）（1-
1
32
）（1-
1
42
)…(1-
1
n2
）=
1
2
×
3
2
×
2
3
×
4
3
×
3
4
×
5
4
…×
n-1
n
×
n+1
n
=
1
2
×
n+1
n
，利用此规律计算．
解答：解：（1）原式=
1
2
×
101
100
=
101
200
；
（2）原式=
1
2
×
n+1
n
=
n+1
2n
．
点评：本题是找规律题，找到（1-
1
22
）（1-
1
32
）（1-
1
42
)…(1-
1
n2
）=
1
2
×
3
2
×
2
3
×
4
3
×
3
4
×
5
4
…×
n-1
n
×
n+1
n
=
1
2
×
n+1
n
是解题的关键．
练习册系列答案
相关题目
19、观察下列算式：12-02=1+0=1；22-12=2+1=3；32-22=3+2=5；42-32=4+3=7；52-42=5+4=9；…若字母n表示自然数，请你观察到的规律用含n式子表示出来：
（n+1）2-n2=2n+1
．
观察下列算式：
1
2
=1-
1
2
，
1
2
+
1
22
=1-
1
22
，
1
2
+
1
22
+
1
23
=1-
1
23
，…，根据你发现的规律计算：
1
2
+
1
22
+
1
23
+…+
1
210
=
 
．
观察下列算式：
1
2
=
1
1×2
=
1
1
-
1
2
；
1
6
=
1
2×3
=
1
2
-
1
3
；
1
12
=
1
3×4
=
1
3
-
1
4
；…
（1）通过观察，你得到什么结论？用含n（n为正整数）的等式表示：
1
n(n+1)
=
1
n
-
1
n+1
1
n(n+1)
=
1
n
-
1
n+1
．
（2）利用你得出的结论，计算：
1
(a-1)(a-2)
+
1
(a-2)(a-3)
+
1
(a-3)(a-4)
+
1
(a-4)(a-5)
．
观察下列算式：
12-02=1+0=1；22-12=2+1=3；32-22=3+2=5；42-32=4+3=7；52-42=5+4=9；…．若字母n表示自然数，请把你观察到的规律用含n的等式表示出来：
n2-（n-1）2=2n-1
n2-（n-1）2=2n-1
．
观察下列算式：
1
2
=
1
1×2
=
1
1
-
1
2
；
1
6
=
1
2×3
=
1
2
-
1
3
；
1
12
=
1
3×4
=
1
3
-
1
4
；…
（1）通过观察，你得到什么结论？用含n（n为正整数）的等式表示：______．
（2）利用你得出的结论，计算：
1
(a-1)(a-2)
+
1
(a-2)(a-3)
+
1
(a-3)(a-4)
+
1
(a-4)(a-5)
．

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