Question

5．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（-2，-4），直线x=-2与x轴相交于点B，连接OA，抛物线y=-x²从点O沿OA方向平移，与直线x=-2交于点P，顶点M到点A时停止移动．
（1）线段OA所在直线的函数解析式是y=2x；
（2）设平移后抛物线的顶点M的横坐标为m，问：当m为何值时，线段PA最长？并求出此时PA的长．
（3）若平移后抛物线交y轴于点Q，是否存在点Q使得△OMQ为等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法求直线OA的解析式；
（2）设M点的坐标为（m，2m），（-2≤m＜0），利用顶点式写出平移后抛物线解析式为y=-（x-m）²+2m，则 P点的坐标为（-2，-m²-2m-4），所以PA=-m²-2m，然后利用二次函数的性质解决问题；
（3）先确定OQ=m²-2m，OM=-$\sqrt{5}$m，再讨论：当OM=OQ，即-$\sqrt{5}$m=m²-2m，然后解方程求出m即可得到此时Q点坐标；当OM=MQ，作MH⊥OQ于H，如图1，利用OH=QH得到-2m=m²-2m-（-2m），然后解方程求出m即可得到Q点坐标；当QM=QO，作QF⊥OM于F，如图2，则OF=MF=-$\frac{\sqrt{5}}{2}$m，证明Rt△OFQ∽Rt△ABO，利用相似比得到$\frac{-\frac{\sqrt{5}}{2}m}{4}$=$\frac{-{m}^{2}+2m}{2\sqrt{5}}$，解得m不满足条件舍去．

解答 解：（1）设直线OA的解析式为y=kx，
把（-2，-4）代入得-2k=-4，解得k=2，
所以直线OA的解析式为y=2x；
故答案为y=2x；

（2）设M点的坐标为（m，2m），（-2≤m＜0），
∴平移后抛物线解析式为y=-（x-m）²+2m，
当x=-2时，y=-（2-m）²+2m=-m²-2m-4，
∴P点的坐标为（-2，-m²-2m-4），
∴PA=-m²-2m-4-（-4）=-m²-2m=-（m-1）²+1
∴当m=1时，PA的值最大，PA的最大值为1；

（3）存在，理由如下：
当x=0时，y=-（0-m）²+2m=-m²+2m，则Q（0，-m²+2m），
∵OQ=m²-2m，OM=$\sqrt{{m}^{2}+（2m）^{2}}$=-$\sqrt{5}$m，
当OM=OQ，即-$\sqrt{5}$m=m²-2m，即m²-（2-$\sqrt{5}$）m=0，解得m₁=0（舍去），m₂=2-$\sqrt{5}$，此时Q点坐标为（0，5-2$\sqrt{5}$）；
当OM=MQ，作MH⊥OQ于H，如图1，则OH=QH，-2m=m²-2m-（-2m），即m²+2m=0，解得m₁=0（舍去），m₂=-2，此时Q点坐标为（0，-8）；
当QM=QO，作QF⊥OM于F，如图2，则OF=MF=-$\frac{\sqrt{5}}{2}$m，
∵OQ∥AB，
∴∠QOF=∠BAO，
∴Rt△OFQ∽Rt△ABO，
∴$\frac{OF}{AB}$=$\frac{OQ}{OA}$，即$\frac{-\frac{\sqrt{5}}{2}m}{4}$=$\frac{-{m}^{2}+2m}{2\sqrt{5}}$，整理得4m²-3m=0，解得m₁=0（舍去），m₂=$\frac{3}{4}$（舍去），
综上所述，满足条件的Q点坐标为（0，5-2$\sqrt{5}$）或（0，-8）．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和二次函数的图象变换和等腰三角形的性质；会利用勾股定理计算线段的长和利用相似比表示线段之间的关系；理解坐标与图形性质；学会利用分类讨论的思想解决数学问题．