Question

7．已知二次函数y₁=mx²-2mx-3（m＞0）与一次函数y₂=x+1，令W=y₁-y₂．
（1）若y₁、y₂的函数图象交于x轴上的同一点．
①求m的值；
②当x为何值时，W的值最小，试求出该最小值；
（2）当-2＜x＜3时，W随x的增大而减小．
①求m的取值范围；
②求证：y₁＜y₂．

Answer 1

分析 （1）①直接得出一次函数y₂=x+1过（-1，0），进而代入二次函数解析式得出答案；
②直接利用m的值得出W与x的函数关系式，进而得出最值；
（2）①首先表示出二次函数的对称轴，进而二次函数增减性得出m的取值范围；
②首先得出当x=-2时，W的值，进而得出W＜W₀≤0，即y₁-y₂＜0，即可得出答案．

解答 解：（1）①∵y₁、y₂的函数图象交于x轴上的同一点，一次函数y₂=x+1过（-1，0），
∴二次函数y₁=mx²-2mx-3（m＞0）过（-1，0），
∴0=m+2m-3，
解得：m=1；

②W=x²-2x-3-x-1=x²-3x-4=（x-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{25}{4}$，
当x=$\frac{3}{2}$时，W的值最小，最小值为：-$\frac{25}{4}$；

（2）①解：W=mx²-2mx-3-x-1=mx²-（2m+1）x-4，
对称轴为：x=-$\frac{-（2m+1）}{2m}$=$\frac{2m+1}{2m}$，
因为m＞0，-2＜x＜3时，且W随x的增大而减小，
所以，$\frac{2m+1}{2m}$≥3，
所以m≤$\frac{1}{4}$，
所以0＜m≤$\frac{1}{4}$，

②证明：当x=-2时，W₀=y₁-y₂=8m-2，
因为-2＜x＜3时，W随x的增大而减小．
所以，W＜W₀=8m-2，
因为0＜m≤$\frac{1}{4}$，所以8m-2≤0，即W₀≤0，
所以W＜W₀≤0，即y₁-y₂＜0，
所以y₁＜y₂．

点评 此题主要考查了二次函数综合以及二次函数的性质等知识，正确利用二次函数的性质分析是解题关键．