Question

如图，OP平分∠MON，点A与B，点C与D分别在射线OM、ON上，且AB=CD
（1）△ABP与△PCD的面积是否相等？请说明理由．
（2）当OA=OC时，求证：△ABP≌△CDP．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,角平分线的性质

专题：

分析：（1）作PG⊥OM于G，PH⊥ON于H，根据角平分线的性质得出PG=PH，然后根据三角形的面积公式即可证得△ABP与△PCD的面积相等；
（2）根据SAS证得△OPB≌△OPD和△OPA≌△OPC分别求得PB=PD，PA=PC，再根据SSS即可证得△ABP≌△CDP．

解答： 解：（1）作PG⊥OM于G，PH⊥ON于H，
∵OP平分∠MON，
∴PG=PH，
∵S_△ABP=

1

2

AB•PG，S_△PCD=

1

2

CD•PH，AB=CD，
∴S_△ABP=S_△PCD，
所以△ABP与△PCD的面积是否相等；
（2）∵AB=CD，OA=OC，
∴OB=OD，
在△OPB与△OPD中，

OB=OD ∠BOP=∠DOP OP=OP

，
∴△OPB≌△OPD（SAS），
∴PB=PD，
在△OPA与△OPC中，

OA=OC ∠AOP=∠COP OP=OP

，
∴△OPA≌△OPC（SAS），
∴PA=PC，
在△ABP与△CDP中，

PA=PC PB=PD AB=CD

，
∴△ABP≌△CDP（SSS）．

点评：本题考查了角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，三角形面积等，熟练掌握性质定理是解题的关键．