Question

如图，已知二次函数y=ax²-4x+c的图象与坐标轴交于点A和点B，AO：BO=1：5．CO=BO．△ABC的面积为15．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）已知该函数图象的对称轴上存在一点P，使得△ACP的周长最小，请求出点P的坐标．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点,待定系数法求二次函数解析式,轴对称-最短路线问题

专题：

分析：（1）可设OA=x（x＞0），则OB=OC=5x，根据三角形的面积可求得x的值，可求得A、B、C的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式；
（2）连接BC，交对称轴于点P，则P点即为所求，由B、C坐标可求得直线BC的解析式，可求得P点坐标．

解答： 解：
（1）设AO=x，则BO=CO=5x，
∴AB=6x，
∴S_△ABC=

1

2

AB•OC=

1

2

×6x×5x=15x²，
又△ABC的面积为15，
解得x=1，
∴A（-1，0），B（5，0），C（0，-5），
设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-5），
把C点坐标代入可得-5=-5a，解得a=1，
∴抛物线解析式为y=x²-4x-5；
（2）∵A、B关于对称轴对称，
∴连接BC交对称轴于一点，则该点即为所求的P点，如图，

设直线BC解析式为y=kx+b，
把B、C坐标代入可得

0=5k+b -5=b

，解得

k=1 b=-5

，
∴直线BC解析式为y=x-5，
由（1）可求得抛物线的对称轴为x=2，
在y=x-5中，令x=2可得y=-3，
∴P点坐标为（2，-3）．

点评：本题主要考查待定系数法及二次函数的对称性，在（1）中求得A、B、C的坐标是解题的关键，在（2）中确定出P点的位置是解题的关键．