Question

7．如图所示，在矩形ABCD中，DG⊥AC，G为垂足，∠CDG：∠GDA=1：3，那么∠BDG=45°，若AC=8，那么DG=2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由矩形的性质得出∠ADC=90°，OA=OD，由∠CDG：∠GDA=1：3，得出∠CDG=$\frac{1}{4}$×90°=22.5°，∠GDA=67.5°，求出∠ODA=22.5°，即可得出∠BDG的度数；求出OD=$\frac{1}{2}$AC=4，由三角函数即可求出DG．

解答 解：如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，OA=$\frac{1}{2}$AC，OD=$\frac{1}{2}$BD，AC=BD，
∴OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵∠CDG：∠GDA=1：3，
∴∠CDG=$\frac{1}{4}$×90°=22.5°，∠GDA=67.5°，
∵DG⊥AC，
∴∠OAD=∠CDG=22.5°，
∴∠ODA=22.5°，
∴∠BDG=67.5°-22.5°=45°，
故答案为：45°；
∵AC=8，
∴OD=OA=$\frac{1}{2}$AC=4，
∵∠BDG=45°，
∴DG=OD•cos45°=4×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=2$\sqrt{2}$，
故答案为：2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、三角函数；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．