Question

如图，已知抛物线y=ax²-2ax-b（a＞0）与x轴的一个交点为B（-1，0），与y轴的负半轴交于点C，顶点为D．
（1）直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与x轴的另一个交点A的坐标；
（2）用只含a的代数式表示点C和点D的坐标；
（3）连结AC与CD，当AC⊥CD时．
①求抛物线的解析式；
②点E在抛物线的对称轴上，点F在抛物线上，且以B，A，F，E四点为顶点的四边形为平行四边形，求点F的坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）已知抛物线解析式和点B的坐标求出a值，利用对称轴x=-

b

2a

求出对称轴以及点A的坐标；
（2）设x=0，求出y的值，即点C的纵坐标，把抛物线的解析式配方即可得到顶点的坐标即点D的坐标，问题得解；
（3）①本题要靠辅助线的帮助．连接AC，AD，过DM⊥y轴于点M．证明△AOC∽△CMD后可推出a，b的值．
②证明四边形BAFE为平行四边形，求出BA，EF得出点F的坐标．

解答：解：（1）对称轴是直线：x=-

b

2a

=-

-2a

2a

=1，
∵抛物线y=ax²-2ax-b（a＞0）与x轴的一个交点为B（-1，0），对称轴是直线x=1，
∴点A的坐标是（3，0）；
（2）设x=0，则y=-b，
∴点C的坐标为（0，-b），
∵y=ax²-2ax-b=a（x²-2x）-b，
=a（x-1）²-a-b，
∴点D的坐标为（1，-a-b）；
（3）①如图1，连接AC、AD，过D作DM⊥y轴于点M，
∵AC⊥CD，
∴∠ACD=90°，
∴∠OCA+∠MCD=90°，
∵∠OCA+∠OAC=90°，∠CDM+∠MCD=90°，
∴∠OCA=∠CDM，∠OAC=∠MCD，
∴△AOC∽△CMD，
∵点A、D、C的坐标分别是A（3，0），D（1，-a-b），C（0，-b），
∴AO=3，MD=1，
由

AO

CM

=

OC

MD

，
得

3

a

=

b

1

，
∴3-ab=0，
又∵0=a•（-1）²-2a•（-1）-b，
∴由

3-ab=0 3a-b=0

，
得

a=1 b=3

，
∴函数解析式为：y=x²-2x-3；
②如图2所示，当BAFE为平行四边形时，
则BA∥EF，并且BA=EF，
∵BA=4，
∴EF=4，
由于对称为x=1，
∴点F的横坐标为5，
将x=5代入y=x²-2x-3得y=12，
∴F（5，12），
根据抛物线的对称性可知，在对称轴的左侧抛物线上也存在点F，
使得四边形BAEF是平行四边形，此时点F坐标为（-3，12），
当四边形BEAF是平行四边形时，点F即为点D，
此时点F的坐标为（1，-4），
综上所述，点F的坐标为（5，12），（-3，12）或（1，-4）．

点评：本题考查的是二次函数的综合运用以及平行四边形的判定定理，利用数形结合以及分类讨论得出F点的坐标是解题关键，题目的综合性较强，对学生的解题能力要求较高，是一道不错的中考题目．