Question

14．已知如图①，在矩形ABCD中，AC是对角线，将△ABC绕点A旋转得到△AEF、直线FE交BC于点G，易证：FG=EF-CG．当直线FE交BC的延长线于点G（如图②）或直线FE交CB的延长线于点G（如图③）时，线段EG、EF、CG之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并选择一种情况给出证明．

Answer 1

分析 图②结论：EG=EF+CG，如图2，连接AG，证明Rt△ABG≌Rt△AEG，问题即可得证；图③结论：EG=CG-EF，连接AG，证明Rt△ABG≌Rt△AEG，问题即可得证．

解答 解：猜想：图②结论：EG=EF+CG，
图③结论：EG=CG-EF，
证明图②，如图2，连接AG，
∵将△ABC绕点A旋转得到△AEF，
∴AB=AE，∠FEA=∠GEA=∠B=90°，
在Rt△ABG和Rt△AEG中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AE}\\{AG=AG}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABG≌Rt△AEG，
∴BG=EG
又∵BC=EF，BG=BC+CG
∴EG=EF+CG；
 证明图③，如图3，连接AG，
同理可证：Rt△ABG≌Rt△AEG，
∴BG=EG，
又∵BC=EF，BG=CG-BC，
∴EG=CG-EF．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，正确的作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键．