Question

3．设x₁，x₂是方程2x²-$\sqrt{6}$x-1=0的两根，不解方程，求下列各式的值．
（1）${x}_{1}^{2}$+${x}_{2}^{2}$；（2）（x₁-x₂）²．

Answer 1

分析 根据根与系数的关系得出“x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，x₁•x₂=$\frac{c}{a}$=-$\frac{1}{2}$”．
（1）利用完全平方公式，将${{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}$转化成$（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}$-2x₁•x₂，代入数据即可得出结论；
（2）利用完全平方公式，将$（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}$转化成$（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}$-4x₁•x₂，代入数据即可得出结论．

解答 解：∵x₁，x₂是方程2x²-$\sqrt{6}$x-1=0的两根，
∴x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，x₁•x₂=$\frac{c}{a}$=-$\frac{1}{2}$．
（1）${{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}$=$（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}$-2x₁•x₂=$（\frac{\sqrt{6}}{2}）^{2}$-2×（-$\frac{1}{2}$）=$\frac{5}{2}$；
（2）$（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}$=$（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}$-4x₁•x₂=$（\frac{\sqrt{6}}{2}）^{2}$-4×（-$\frac{1}{2}$）=$\frac{7}{2}$．

点评 本题考查了根与系数的关系以及完全平方公式，解题的关键是：（1）将原代数式转化成$（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}$-2x₁•x₂；（2）将原代数式转化成$（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}$-4x₁•x₂．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系找出两根之和与两根之积，再利用完全平方公式将原代数式转化成只含两根之和与两根之积的代数式是关键．