Question

13．如图，AB，AD是⊙O的弦，AO平分∠BAD．过点B作⊙O的切线交AO的延长线于点C，连接CD，BO．延长BO交⊙O于点E，交AD于点F，连接AE，DE．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AE=DE=3，求AF的长．

Answer 1

分析 （1）欲证明CD是⊙O的切线，只要证明∠CDO=∠CBO=90°，由△COB≌△COD即可解决问题．
（2）先证明∠BAO=∠OAD=∠DAE=∠ABO=30，在Rt△AEF中利用30度性质以及勾股定理即可解决问题．

解答 （1）证明：如图，连接OD．
∵BC为圆O的切线，
∴∠CBD=90°．
∵AO平分∠BAD，
∴∠OAB=∠OBF．
∵OA=OB=OD，
∴∠OAB=∠ABO=∠OAF=∠ODA，
∴∠BOC=∠DOC，
在△COB和△COD中，
$\left\{\begin{array}{l}{CO=CO}\\{∠COB=∠COD}\\{OB=OD}\end{array}\right.$，
∴BOC≌△DOC，
∴∠CBO=∠CDO=90°，
∴CD是⊙O的切线；
（2）∵AE=DE，
∴$\widehat{AE}$=$\widehat{DE}$，
∴∠DAE=∠ABO，
∴∠BAO=∠OAD=∠ABO
∴∠BAO=∠OAD=∠DAE，
∵BE是直径，
∴∠BAE=90°，
∴∠BAO=∠OAD=∠DAE=∠ABO=30°，
∴∠AFE=90°，
在Rt△AFE中，∵AE=3，∠DAE=30°，
∴EF=$\frac{1}{2}$AE=$\frac{3}{2}$，
∴AF=$\sqrt{A{E}^{2}-E{F}^{2}}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查切线的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，发现特殊角30°，属于中考常考题型．