Question

18．如图，双曲线y=$\frac{k}{x}$经过点A（1，2），过点A作y轴的垂线，垂足为B，交双曲线y=-$\frac{18}{x}$于点C，直线y=m（m≠0）分别交双曲线y=-$\frac{18}{x}$、y=$\frac{k}{x}$于点P、Q．
（1）求k的值；
（2）若△OAP为直角三角形，求点P的坐标；
（3）△OCQ的面积记为S_△OCQ，△OAP的面积记为S△OAP，试比较S_△OCQ与S_△OAP的大小（直接写出结论）．

Answer 1

分析 （1）直接把点A（1，2）代入双曲线y=$\frac{k}{x}$，求出k的值即可；
（2）设P（-$\frac{18}{m}$，m），再分∠AOP=90°，∠OAP=90°及∠APO=90°三种情况进行讨论；
（3）根据A（1，2）可得出C（-9，2），设P（-$\frac{18}{m}$，m），则Q（$\frac{2}{m}$，m），分别过点A、Q、P、C作x轴的垂线，垂足分别为M、N、K、H，再由反比例函数图象上点的坐标特点得出△AOM，△QON，△COH与△POK的面积，根据S_△OCQ=S_梯形CHNQ-S_△COH-S_△POK，S_△OAP=S_梯形AMKP-S_△AOM-S_△POK即可得出结论．

解答 解：（1）∵双曲线y=$\frac{k}{x}$经过点A（1，2），
∴k=1×2=2；

（2）设P（-$\frac{18}{m}$，m），
∵A（1，2），
∴OA²=1²+2²=5，AP²=（1+$\frac{18}{m}$）²+（2-m）²，OP²=（$\frac{18}{m}$）²+m²，
当∠AOP=90°时，
∵OA²+OP²=AP²，即5+（$\frac{18}{m}$）²+m²=（1+$\frac{18}{m}$）²+（2-m）²，解得m=±3，
∴P₁（-6，3），P₂（6，-3）；
当∠OAP=90°时，
∵OA²+AP²=OP²，即5+（1+$\frac{18}{m}$）²+（2-m）²=（$\frac{18}{m}$）²+m²，解得m=$\frac{9±3\sqrt{73}}{8}$，
∴P₃（$\frac{9-3\sqrt{73}}{4}$，$\frac{9+3\sqrt{73}}{8}$），P₄（$\frac{9+3\sqrt{73}}{4}$，$\frac{9-3\sqrt{73}}{8}$）；
当∠APO=90°时，此种情况不存在；

（3）∵A（1，2），
∴C（-9，2）．
设P（-$\frac{18}{m}$，m），则Q（$\frac{2}{m}$，m），
分别过点A、Q、P、C作x轴的垂线，垂足分别为M、N、K、H，
∵点A、Q在反比例函数y=$\frac{2}{x}$的图象上，
∴S_△AOM=S_△QON=1．
∵点C、P在反比例函数y=-$\frac{18}{x}$的图象上，
∴S_△COH=S_△POK=9．
S_△OCQ=S_梯形CHNQ-S_△COH-S_△POK，S_△OAP=S_梯形AMKP-S_△AOM-S_△POK，
∴S_△OCQ-S_△OAP=S_梯形CHNQ-S_梯形AMKP，
∵梯形CHNQ与梯形AMKP的上底与下底相同，
∴只要比较HN与KM的大小即可，
∵HN-KM=（9+$\frac{2}{\left|m\right|}$）-（1+$\frac{18}{\left|m\right|}$）=8-$\frac{16}{\left|m\right|}$，
∴当m=±2时，HN=KM，即S_△OCQ=S_△OAP；
当m＞2或m＜-2时，8-$\frac{16}{\left|m\right|}$＞0，即S_△OCQ＞S_△OAP；
当-2＜m＜2时，8-$\frac{16}{\left|m\right|}$＜0，即S_△OCQ＜S_△OAP．

点评 本题考查的是反比例函数综合题，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．