Question

5．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AE平分∠BAC，CD⊥AE交AE于点G，交AB于点D，DF∥BE交AC于点F．求证：DC平分∠FDE．

Answer 1

分析 首先证明AD=AC，推出AE垂直平分线段CD，推出DE=EC，推出∠EDC=∠DCE，由DF∥BC，推出∠FDC=∠DCE，推出∠FDC=∠EDC即可证明．

解答 证明：∵AE⊥CD，
∴∠AGD=∠AGC=90°，
∴∠DAG+∠ADG=90°，∠CAG+∠ACG=90°，
∵∠DAG=∠CAG，
∴∠ADG=∠ACG，
∴AD=AC，
∴DG=GC，
∴ED=EC，
∴∠EDC=∠DCE，
∵DF∥BC，
∴∠FDC=∠DCE，
∴∠FDC=∠EDC，
∴CD平分∠FDE．

点评 本题考查直角三角形的性质．角平分线的定义、线段的垂直平分线的判定和性质、平行线的性质等知识，解题的关键是判断AE是线段CD的垂直平分线，属于中考常考题型．