Question

16．如图，AD为△ABC的角平分线，G为BC中点，GE∥AD，分别交BA的延长线于E，交AC于F，求证：
（1）BE=CF；
（2）CF=$\frac{1}{2}$（AB+AC）．

Answer 1

分析 （1）过B作BN‖AC交EG延长线于N点，即可证明BN=CF，然后利用等角对等边证明△BEN是等腰三角形即可；
（2）首先证明AE=AF，然后利用等量代换证明AB+AC=BE+FC即可证得．

解答 证明：（1）过B作BN‖AC交EG延长线于N点，
∵BN‖AC，BG=CG，
∴CF=BN，∠CFG=∠N，
又∵AD‖EG，AD平分∠BAC，
∴∠CFG=∠DAC=∠E，
∴∠E=∠N，
∴BE=BN，
∴BE=CF；
（2）∵∠EFA=∠CFG，
∴∠E=∠EFA，
∴AE=AF，
∴AB+AC=AB+AF+FC=AB+AE+FC=BE+FC，即BE=CF=$\frac{1}{2}$（AB+AC）．

点评 本题考查了平行线的性质以及等腰三角形的判定与性质，正确作出辅助线，把证明BE=CF的问题转化为证明△BEN是等腰三角形问题是关键．