Question

在等腰△ABC中，∠ACB=90°，且AC=2，过点C作直线l∥AB，P为直线l上一点，且AP=AB，则点P到BC所在直线的距离是

 

．

Answer 1

考点：勾股定理,平行线之间的距离,含30度角的直角三角形,等腰直角三角形

专题：分类讨论

分析：如图1，延长AC，做PD⊥BC交点为D，PE⊥AC，交点为E，可得四边形CDPE是正方形，则CD=DP=PE=EC；等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，所以，可求出AC=2，AB=2

2

，又因为AB=AP；所以，在直角△AEP中，可运用勾股定理求得DP的长即为点P到BC的距离．如图2，延长BC，作PD⊥BC，交点为D，延长CA，作PE⊥CA于点E，同理可证，四边形CDPE是正方形，同理可得，在直角△AEP中，可运用勾股定理求得DP的长即为点P到BC的距离．

解答：解：①如图1，延长AC，做PD⊥BC交点为D，PE⊥AC，交点为E，
∵CP∥AB，
∴∠PCD=∠CBA=45°，
∴四边形CDPE是正方形，
则CD=DP=PE=EC，
∵在等腰直角△ABC中，AC=BC=2，AB=AP，
∴AB=

22+2

=2

2

，
∴AP=2

2

；
∴在直角△AEP中，（2+EC）²+EP²=AP²
∴（2+DP）²+DP²=（2

2

）²，
解得DP=

3

-1；

②如图2，延长BC，作PD⊥BC，交点为D，延长CA，作PE⊥CA于点E，
同理可证，四边形CDPE是正方形，
∴CD=DP=PE=EC，
同理可得，在直角△AEP中，（EC-2）²+EP²=AP²，
∴（PD-2）²+PD²=（2

2

）²，
解得PD=

3

+1．
故点P到BC所在直线的距离是

3

-1或

3

+1．
故答案为：

3

-1或

3

+1．

点评：本题考查了勾股定理的运用，通过添加辅助线，可将问题转化到直角三角形中，利用勾股定理解答；考查了学生的空间想象能力．