Question

10．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，BC=12cm，AD=6cm．
（1）△ABC的面积等于36cm²；
（2）点P从点B出发，在线段BC上以每秒2cm的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于AD的直线L从底边BC出发，以每秒1cm的速度沿DA方向匀速平移，分别交AB、AC、AD于E、F、H，当点P到达点C时，点P与直线L同时停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．
①如图1，当P点与D点重合时，连接DE、DF，求证：四边形AEDF为正方形；
②在整个运动过程中，求△PEF的面积的最大值；
③当t为何值时，使△PEF为直角三角形？

Answer 1

分析 （1）根据三角形的面积公式求出△ABC的面积；
（2）①根据正方形的判定定理和等腰直角三角形的性质证明四边形AEDF为正方形；
②根据相似三角形的性质得到成比例相等，代入数据得到二次函数的解析式，根据二次函数的性质求出最大值；
③分点E、F、P分别为直角顶点进行分析，根据相似三角形的性质求出t．

解答 解：（1）△ABC的面积=$\frac{1}{2}$×12×6=36；
（2）①当P点与D点重合时，t=3，
∴H为AD的中点，
∵EF⊥AD，
∴EF为AD的垂直平分线，
∴四边形AEDF的对角线互相垂直平分，
∴四边形AEDF为菱形，
∵AD=BD=CD=6，∴∠BAC=90°
∴四边形AEDF为正方形；
②∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴$\frac{EF}{BC}=\frac{AH}{AD}$，即$\frac{EF}{12}=\frac{6-t}{6}$，
解得：EF=2（6-t），
S_△PEF=$\frac{1}{2}$EF•DH=$\frac{1}{2}$×2（6-t）t=-（t-3）²+9，
∴当t=3秒时，S_△PEF的最大值为9；
③（1）若点E为直角顶点，如图1所示，
此时PE∥AD，PE=t，BP=2t，
∵PE∥AD，
∴$\frac{PE}{AD}=\frac{BP}{BD}$，即$\frac{t}{6}=\frac{2t}{6}$，
解得，t=0，
与题设矛盾；
（2）若点F为直角顶点，如图2所示，
此时PF∥AD，PF=t，BP=2t，CP=12-2t．
∵PF∥AD，
∴$\frac{PF}{AD}=\frac{CP}{CD}$，即$\frac{t}{6}=\frac{12-2t}{6}$，
解得，t=4，
（3）若点为直角顶点，
由（1）得，t=3时，四边形AEDF为正方形，
∠EPF=90°，
综上所述，当t=3、t=4时，△PEF为直角三角形．

点评 本题考查的是正方形的判定、相似三角形的判定和性质、二次函数的性质，灵活运用相关的判定定理和性质定理是解题的关键，注意分情况讨论思想的正确运用．