Question

如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2，CD=4，A（0，3），直线y=ax+b过B、C两点，反比例函数y=

k

x

图象的一支过点B．
①求一次函数与反比例函数的解析式；
②直接写出当x取何值时反比例函数值为正数且大于一次函数的值．

Answer 1

考点：反比例函数与一次函数的交点问题

专题：代数几何综合题,数形结合,待定系数法

分析：①过B作BE垂直于x轴，由等腰梯形ABCD，得到三角形ACO与三角形BDE全等，得到OC=ED，再由矩形AOEB确定出AB=OE，进而求出OC的长，得到C的坐标，根据BE与OE长求出B坐标，将B与C坐标代入一次函数解析式求出a与b的值，确定出一次函数解析式，将B坐标代入反比例解析式求出k的值，确定出反比例解析式；
②由B横坐标，利用图象即可确定出满足题意x的范围．

解答：解：①过B作BE⊥x轴，与x轴交于E点，
∵A（0，3），AB=2，
∴OA=BE=3，OE=AB=2，
∵等腰梯形ABCD，
∴∠ACD=∠BDC，AC=BD，
在Rt△ACO和Rt△BDE中，

AC=BD AO=BE

，
∴Rt△ACO≌Rt△BDE（HL），
∴OC=ED=

1

2

（CD-AB）=1，
∵OE=2，BE=3，
∴B（2，3），C（0，-1），
将B与C坐标代入y=ax+b，得

2a+b=3 b=-1

，
解得：

a=2 b=-1

，
∴一次函数解析式为y=2x-1；
将B坐标代入反比例解析式得：k=6，
∴反比例解析式为y=

6

x

；
②根据函数图象得：当0＜x＜2时，反比例函数值为正数且大于一次函数的值．

点评：此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，利用了数形结合的思想，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．