Question

如图，在菱形ABCD中，点E、F分别为边AD、CD上的动点（都与菱形的顶点不重合），连接EF、BE、BF．
（1）若∠A=60°，且AE+CF=AB，判断△BEF的形状，并说明理由；
（2）在（1）的条件下，设菱形的边长为a，求△BEF面积的最小值．

Answer 1

分析：（1）通过证明BE=BF，∠EBF的度数，可判断△BEF是等边三角形．
（2）当BE⊥AD时，BE最小，此时，S_△BEF最小．求出此时的边EF长，及其对应高BM的长，按照三角形的面积公式即可求出．

解答：解：（1）答：△BEF的形状为等边三角形．（1分）
证明：如图，
在菱形ABCD中，∠A=60°，
∴AB∥DC，AB=BC=CD=DA．
∴∠ADC=120°．
∴∠1=∠2=60°．
∴∠ABD=∠1=∠A=60°．
∴AB=BD，∠A=∠2．
∵AE+CF=AB，DF+CF=CD，
∴AE=DF．
∴△ABE≌△DBF．
∴BE=BF，∠3=∠4．（2分）
又∵∠3+∠5=60°，
∴∠4+∠5=60°．（3分）
∴△BEF为等边三角形．

（2）如图：
当BE⊥AD时，BE最小，此时，S_△BEF最小．
设此时EF与BD交于点M，
∴∠ABE=∠DBE=30°．
∵∠BEM=60°，
∴∠BME=90°．
在Rt△ABE中，AB=a，
∴BE=

3

2

a．
∴EF=

3

2

a．（4分）
在Rt△BEM中，∠BEM=60°，
∴BM=

3

4

a．（5分）
∴S△BEF=

1

2

EF•BM=

1

2

×

3

2

a×

3

4

a=

3 3

16

a2．（6分）

点评：本题考查了菱形的性质，及全等三角形和等边三角形的判定和性质，难度不大，注意这些知识的综合应用．