Question

【题目】如图所示，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，点E、F分别在菱形的边BC、CD上运动，且∠EAF=60°且E、F不与B、C、D重合，连接AC交EF于P点．

(1)证明：不论E、F在BC、CD上如何运动，总有BE=CF；

(2)当BE=1时，求AP的长；

(3)当点E、F在BC、CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化？如果不变，直接写出这个定值；如果变化，是最大值还是最小值？并直接写出最大(或最小)值．

Answer 1

【答案】(1) 见解析；(2) AP=，(3)四边形AECF的面积不变，定值为；△CEF的面积变化最大值.

【解析】

（1）先求证AB=AC，进而求证△ABC、△ACD为等边三角形，得∠4=60°，AC=AB进而求证△ABE≌△ACF，即可求得BE=CF；

（2）首先利用勾股定理得出AE的长，进而得出△AEF是等边三角形，进而得出△APF∽△AFC，进而求出AP的长；

（3）根据△ABE≌△ACF可得S△ABE=S△ACF，故根据S四边形AECF= S△ABC即可解题；当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短．△AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，又根据S△CEF=S四边形AECF-S△AEF，则△CEF的面积就会最大．

（1）证明：如图1，

∵菱形ABCD，∠BAD=120°，

∵∠1+∠EAC=60°，∠3+∠EAC=60°，

∴∠1=∠3，

∵∠BAD=120°，

∴∠ABC=60°，

∴△ABC、△ACD为等边三角形

∴∠4=60°，AC=AB，

∴在△ABE和△ACF中，

，

∴△ABE≌△ACF（ASA），

∴BE=CF．

（2）解：如图2，过点E作EM⊥AB于点M，

∵BE=1，∠B=60°，∠BME=90°，

∴BM=，则ME=，

∴AM=，

∴AE=，

由（1）得：AE=AF，

又∵∠EAF=60°，

∴△AEF是等边三角形，

∴AF=，∠AFP=60°，

∴∠AFP=∠4，

又∵∠3=∠3，

∴△APF∽△AFC，

∴，

∴，

解得：AP=；

（3）解：四边形AECF的面积不变，△CEF的面积发生变化．

理由：由（1）得△ABE≌△ACF，

则S△ABE=S△ACF，

故S四边形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC，是定值，

如图3，作AH⊥BC于H点，

则BH=2，

S四边形AECF=S△ABC=BCAH=BC，

由“垂线段最短”可知，当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短．

故△AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，

正三角形AEF的面积会最小，

又S△CEF=S四边形AECF-S△AEF，则△CEF的面积就会最大．

则S△CEF=S四边形AECF-S△AEF=．