Question

17．如图1，点O为正方形ABCD的中心．
（1）将线段OE绕点O逆时针方向旋转90°，点E的对应点为点F，连结EF，AE，BF，请依题意补全图1（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）根据图1中补全的图形，猜想并证明AE与BF的关系；
（3）如图2，点G是OA中点，△EGF是等腰直角三角形，H是EF的中点，∠EGF=90°，AB=8，GE=4，△EGF绕G点逆时针方向旋转α角度，请直接写出旋转过程中BH的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据题意画出图形即可；
（2）延长EA交OF于点H，交BF于点G，利用正方形的性质和旋转的性质证明△EOA≌△FOB，得到AE=BF．根据等边对等角得到∠OEA=∠OFB，由∠OEA+∠OHA=90°，所以∠OFB+∠FHG=90°，进而得到AE⊥BF．
（3）如图3，当B，G，H三点在一条直线上时，BH的值最大，根据正方形的性质得到AG=OG=$\frac{1}{2}$AO=2$\sqrt{2}$，根据勾股定理得到BG=$\sqrt{B{O}^{2}+O{G}^{2}}$=2$\sqrt{10}$，根据等腰直角三角形的性质得到GH=2$\sqrt{2}$，于是得到结论．

解答 解：（1）如图1所示：


（2）如图2，延长EA交OF于点H，交BF于点G，

∵O为正方形ABCD的中心
∴OA=OB，∠AOB=90°，
∵OE绕点O逆时针旋转90角得到OF，
∴OE=OF
∴∠AOB=∠EOF=90°，
∴∠EOA=∠FOB，
在△EOA和△FOB中，$\left\{\begin{array}{l}{OE=OF}\\{∠EOA=∠FOB}\\{OA=OB}\end{array}\right.$，
∴△EOA≌△FOB，
∴AE=BF．
∴∠OEA=∠OFB，
∵∠OEA+∠OHA=90°，
∴∠OFB+∠FHG=90°，
∴AE⊥BF；

（3）如图3，当B，G，H三点在一条直线上时，BH的值最大，

∵四边形ABCD是正方形，AB=8，
∴AO=BO=4$\sqrt{2}$，
∵点G是OA中点，
∴AG=OG=$\frac{1}{2}$AO=2$\sqrt{2}$，
∴BG=$\sqrt{B{O}^{2}+O{G}^{2}}$=2$\sqrt{10}$，
∵△EGF是等腰直角三角形，H是EF的中点，
∵EG=4，
∴EF=4$\sqrt{2}$，
∴GH$\frac{1}{2}$EF=2$\sqrt{2}$，
∴BH=BG+GH=2$\sqrt{10}$+2$\sqrt{2}$，
∴BH的最大值是2$\sqrt{10}$+2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了旋转的性质、全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质，解决本题的关键是正确画出图形，作出辅助线，利用旋转的性质、全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质解决问题．