Question

11．若x是不等于1的有理数，我们把$\frac{1}{1-x}$称为x的差倒数，如2的差倒数是$\frac{1}{1-2}=-1$，-1的差倒数为$\frac{1}{1-（-1）}=\frac{1}{2}$，现已知${x}_{1}=\frac{1}{3}$，x₂是x₁的差倒数，x₃是x₂的差倒数，x₄是x₃的差倒数…则x₂₀₁₄=$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 按照求差倒数的方法，计算得出x₁、x₂、x₃、x₄…，找出循环的规律，进一步求得答案即可．

解答 解：∵${x}_{1}=\frac{1}{3}$，
x₂=$\frac{1}{1-\frac{1}{3}}$=$\frac{3}{2}$，
x₃=$\frac{1}{1-\frac{3}{2}}$=-2，
x₄=$\frac{1}{1-（-2）}$=$\frac{1}{3}$，
…
∴以$\frac{1}{3}$，$\frac{3}{2}$，-2这三个数字依次不断循环，
∵2014÷3=671…1，
∴x₂₀₁₄=x₁=$\frac{1}{3}$．
故答案为：$\frac{1}{3}$．

点评 此题考查数字的变化规律，找出数字之间的联系，得出运算的规律，利用规律，解决问题．