Question

3．已知抛物线y²=2x上有两点P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），过PQ的中点M作x轴的平行线，交抛物线于R点，求证：S_△PQR=$\frac{1}{16}$|y₁-y₂|³．

Answer 1

分析 根据P、Q的坐标求得M的坐标，进而求得R的坐标，求得RM的值，然后根据S_△PQR=$\frac{1}{2}$RM×|y₁-y₂|，代入即可证得结论．

解答 解：如图，∵P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），M是PQ的中点，
∴M点的坐标为（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$），
∵RM∥x轴，
∴R点的纵坐标为$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$，横坐标为x=$\frac{{y}^{2}}{2}$=$\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}}{8}$
∴RM=|$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$-$\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}}{8}$|=|$\frac{4{x}_{1}+4{x}_{2}-（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}}{8}$=|$\frac{2{{y}_{1}}^{2}+2{{y}_{2}}^{2}-（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}}{8}$|=$\frac{（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}{8}$，
∵S_△PQR=$\frac{1}{2}$RM×|y₁-y₂|，
∴S_△PQR=$\frac{1}{2}$×$\frac{（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}{8}$×|y₁-y₂|=$\frac{1}{16}$|y₁-y₂|³．

点评 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，求得R、M的坐标是解题的关键．