Question

如图在△ABC中，AB=5，AC=3，BC=4，P从A点出发，沿射线AC运动，速度为每秒2个单位长度，Q点从C点出发，沿射线CB运动，速度为每秒1个单位长度，若点P，Q同时出发，经过时间t后，△PQC与△ABC相似，求运动时间．

Answer 1

考点：一元二次方程的应用,勾股定理的逆定理,相似三角形的性质

专题：几何动点问题

分析：根据已知求出PC=3-2t，再分两种情况讨论当△PQC∽△ABC和△PQC∽△BAC时，列出比例式，进行计算即可．

解答：解：∵AC=3，BC=4，AP=2t，CQ=t，
∴PC=3-2t，
当△PQC∽△ABC时，

CP

AC

=

CQ

CB

，
即

3-2t

3

=

t

4

，
∴t=

12

11

；
当△PQC∽△BAC时，

CP

CB

=

CQ

CA

，
即

3-2t

4

=

t

3

∴t=

9

10

；
答：运动的时间是

12

11

秒或

9

10

秒时，△PQC与△ABC相似．

点评：此题考查了相似三角形的性质，用到的知识点是相似三角形的对应变成比例，注意分两种情况讨论．