Question

20．已知二次函数y=-（x-a）²+a+2，当a取不同的值时，顶点在一条直线上，这条直线的解析式是y=x+2．抛物线与y轴交点为C，当-1≤a≤2时，C点经过的路径长为$\frac{9}{2}$．

Answer 1

分析 由抛物线解析式可求得其顶点坐标，再根据坐标特征可求得顶点所在直线的解析式；在抛物线解析式中令x=0，可求得C点坐标，再由a的取值范围，可求得OC的取值范围，可求得C点经过的路径的长．

解答 解：
∵y=-（x-a）²+a+2，
∴顶点坐标为（a，a+2），
∴当a取不同的值时，顶点在一条直线上，这条直线的解析式是y=x+2；
在y=-（x-a）²+a+2中，令x=0可得y=-a²+a+2，
∴OC=-a²+a+2=-（a-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，
∴OC是关于a的抛物线，开口向下，对称轴为a=$\frac{1}{2}$，
当-1≤a≤$\frac{1}{2}$时，OC随a的增大而增大，当a=-1时，OC=0，当a=$\frac{1}{2}$时，OC=$\frac{9}{4}$，此时点C经过的路径长为$\frac{9}{4}$；
当$\frac{1}{2}$≤a≤2时，OC随a的增大而减小，当a=$\frac{1}{2}$时，OC=$\frac{9}{4}$，当a=2时，OC=0，此时点C经过的路径长为$\frac{9}{4}$；
∴当-1≤a≤2时，C点经过的路径长为$\frac{9}{4}$+$\frac{9}{4}$=$\frac{9}{2}$，
故答案为：$\frac{9}{2}$．

点评 本题主要考查二次函数的性质，在求C点经过的路径长时得到用a表示的二次函数是解题的关键．