Question

16．如图，△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点O，DE经过O点，且DE∥BC．
（1）请指出图中的两个等腰三角形．
（2）请选择（1）中的一个三角形，说明它是等腰三角形的理由．
（3）如果△ABC的周长是26，△ADE的周长是18，请求出BC的长．

Answer 1

分析 （1）△BOD和△COE是等腰三角形
（2）根据角平分线和平行线的性质来证明；
（3）由（2）的结论代入到△ABC的周长中，列方程，可以得出BC的长．

解答 解：（1）△BOD和△COE；
（2）∵BO是∠ABC的平分线，
∴∠DBO=∠OBC，
又∵DE‖BC，
∴∠DOB=∠OBC，
∴∠DBO=∠DOB，
∴BD=OD，
∴△BOD 是等腰三角形；
同理可得：△COE是等腰三角形；
（3）∵△BOD和△COE是等腰三角形，
∴BD=OD，CE=OE，
∴BD+CE=OD+OE，
即 BD+CE=DE，
∵△ABC的周长=AD+BD+BC+AE+CE，
=AD+BC+AE+DE，
=△ADE的周长+BC，
∵△ABC的周长是26，△ADE的周长是18，
即  26=18+BC，
∴BC=8．

点评 本题考查了角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的性质和判定，属于基础题，难度不大；根据角平分线的定义可得分成的两个角相等与平行线的内错角相等相结合，得到等腰三角形，从而得出结论．