Question

已知二次函数y=x²-2mx+m²-1．
（1）该抛物线与y轴交于点C（0，

3

4

），顶点为D，求点D的坐标．
（2）在（1）的条件下，x轴是否存在一点P，使得PC+PD最短？若P点存在，求出P点的坐标；若P点不存在，请说明理由．?

Answer 1

考点：二次函数的性质,轴对称-最短路线问题

专题：计算题

分析：（1）把C点坐标代入解析式可计算出m=±

7

2

，然后把解析式配成顶点式即可得到D点坐标；
（2）分类讨论：先利用待定系数法求出直线CD的解析式，然后求出直线CD与x轴的交点坐标，即可得到P点坐标．

解答：解：（1）把C（0，

3

4

）代入y=x²-2mx+m²-1得m²-1=

3

4

，解得m=±

7

2

，
所以y=（x-m）²-1=（x±

7

2

）²-1，
所以D点坐标为（

7

2

，-1）或（-

7

2

，-1）
（2）存在．
当D点坐标为（

7

2

，-1），设直线CD的解析式为y=kx+b，把C（0，

3

4

）、D（

7

2

，-1）代入得

b= 3 4 7 2 k+b=-1

，解得

k=- 7 2 b= 3 4

，
则直线CD的解析式为y=-

7

2

x+

3

4

，当y=0时，-

7

2

x+

3

4

=0，解得x=

3 7

14

，此时P点坐标为（

3 7

14

，0）；
当D点坐标为（-

7

2

，-1），设直线CD的解析式为y=kx+b，把C（0，

3

4

）、D（-

7

2

，-1）代入得

b= 3 4 - 7 2 k+b=-1

，解得

k= 7 2 b= 3 4

，
则直线CD的解析式为y=

7

2

x+

3

4

，当y=0时，

7

2

x+

3

4

=0，解得x=-

3 7

14

，此时P点坐标为（-

3 7

14

，0），
所以满足条件的P点坐标为（

3 7

14

，0）或（-

3 7

14

，0）．

点评：本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

），对称轴直线x=-

b

2a

，二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：当a＞0时，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜-

b

2a

时，y随x的增大而减小；x＞-

b

2a

时，y随x的增大而增大；x=-

b

2a

时，y取得最小值

4ac-b2

4a

，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜-

b

2a

时，y随x的增大而增大；x＞-

b

2a

时，y随x的增大而减小；x=-

b

2a

时，y取得最大值

4ac-b2

4a

，即顶点是抛物线的最高点．