Question

【题目】如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝6，D为边AB上一动点（不与B点重合），连接CD，将线段CD绕着点D逆时针旋转90°得到DE，连接BE，则S△BDE的最大值为_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

作CM⊥AB于M，EN⊥AB于N，根据AAS证得△EDN≌△DCM，得出EN=DM，然后解直角三角形求得AM=3，得到BM=9，设BD=x，则EN=DM=9-x，根据三角形面积公式得到S△BDE=BDEN=x（9-x）=-（x-4.5）2+，根据二次函数的性质即可求得．

作CM⊥AB于M，EN⊥AB于N，

∴∠EDN+∠DEN=90°，
∵∠EDC=90°，
∴∠EDN+∠CDM=90°，
∴∠DEN=∠CDM，
在△EDN和△DCM中
，
∴△EDN≌△DCM（AAS），
∴EN=DM，
∵∠BAC=120°，
∴∠MAC=60°，
∴∠ACM=30°，
∴AM=AC=×6=3，
∴BM=AB+AM=6+3=9，
设BD=x，则EN=DM=9-x，
∴S△BDE=BDEN=x（9-x）=-（x-4.5）2+，
∴当BD=4.5时，S△BDE有最大值为，
故答案为．