Question

如图1，将射线OX按逆时针方向旋转β角，得到射线OY，如果点P为射线OY上的一点，且OP=a，那么我们规定用（a，β）表示点P在平面内的位置，并记为P（a，β）．例如，图2中，如果OM=8，∠XOM=110°，那么点M在平面内的位置，记为M（8，110）．根据图形，解答下列问题：
（1）如图3中，如果点N在平面内的位置极为N（6，30），那么ON=

 

，∠XON=

 

；
（2）如果点A、B在平面内的位置分别记为A（4，30），B（4，90），试求A、B两点间的距离．（画出图形并写出解题过程）
（3）在（2）中，若以AB为一边在平面内作等边三角形ABC，试用上述记法表示出另一个顶点C．

Answer 1

考点：勾股定理,点的坐标,等边三角形的性质

专题：新定义

分析：（1）由题意得第一个坐标表示此点距离原点的距离，第二个坐标表示此点与原点的连线与x轴所夹的角的度数；
（2）连接AB，根据相应的度数判断出△AOB的形状即可；
（3）过点O作OD⊥AB于点D，延长OD使CD=OD，根据等边三角形的性质求出OD的长，进而可得出OC的长，求出∠COX的度数即可．

解答： 解：（1）根据点N在平面内的位置极为N（6，30）可知，ON=6，∠XON=30°．
故答案为：6，30°；

（2）∵∠BOX=90°，∠AOX=30°，
∴∠AOB=60°，
∵OA=OB=4，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=OA=4．

（3）过点O作OD⊥AB于点D，延长OD使CD=OD，
∵由（2）知，△AOB是等边三角形，∠AOX=30°，
∴∠COX=60°，OD=OA•cos30°=4×

3

2

=2

3

，
∴OC=4

3

，
∴C（0，0）或（4

3

，60）．

点评：本题考查的是勾股定理，根据题意画出图形，再根据等边三角形的性质解答是解答此题的关键．