Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，若动点P在抛物线y=ax²上，⊙P恒过点F（0，2），且与直线y=-2始终保持相切，则a=

 

．

Answer 1

考点：切线的性质,二次函数图象上点的坐标特征

专题：

分析：设P（m，am²）．如图，连接PF．设⊙P与直线y=-n相切于点E，连接PE．根据题意知PE、PF是⊙P的半径，所以利用两点间的距离公式得到

m2+(am2-2)2

=am²+2，通过化简即可求得a的值．

解答： 【解答】解：如图，连接PF．设⊙P与直线y=-2相切于点E，连接PE．则PE⊥AE．
∵动点P在抛物线y=ax²上，
∴设P（m，am²）．
∵⊙P恒过点F（0，2），
∴PF=PE，即

m2+(am2-2)2

=am²+2．
解得a=

1

8

．
故答案是：

1

8

．

点评：本题考查了二次函数综合题，此题涉及到了二次函数图象上点的坐标特征，两点间的距离等知识点．根据题意得到PF是⊙P的半径是解题的关键．