Question

3．如图，要在一块形状为直角三角形（∠C 为直角）的铁皮上裁出一个半圆形的铁皮，需先在这块铁皮画出一个半圆，使它的圆心在线段AC 上，且与AB、BC 都相切．
（1）请你用直尺和圆规作出该半圆（要求保留作图痕迹，不要求写做法）
（2）若AC=4，BC=3，求半圆的半径．

Answer 1

分析 （1）先确定圆心，再确定半径即可解决．
（2）利用S_△ABC=S_△BCO+S_△ABO，列出方程即可解决．

解答 解：（1）作∠B的角平分线与AC的交点O，以O为圆心，OC为半径画半圆；

（2）设半圆的半径为r，
∵半圆O与AB相切于点D，
∴OD⊥AB，
∴∠ADO=90°
在Rt△ACB中，∠ACB=90°，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+C{B}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5，
在△ADO和△ACB中
∠ADO=∠ACB，∠A=∠A
∴△ADO∽△ACB
∴$\frac{AO}{AB}=\frac{OD}{BC}$
∴$\frac{4-r}{5}=\frac{r}{3}$，
解得：r=1.5．
答：半圆的半径为1.5．

点评 本题考查了切线的判断与性质、勾股定理以及相似三角形的判定与性质，此题综合性较强，比较复杂，一定要细心去做．