Question

18．某网店尝试用单价随天数而变化的销售模式销售一种商品，利用30天的时间销售一种成本为10元/件的商品售后，经过统计得到此商品单价在第x天（x为正整数）销售的相关信息，如表所示：

销售量n（件）	n=50-x
销售单价m（元/件）	当1≤x≤20时，m=20+$\frac{1}{2}$x
	当21≤x≤30时，m=10+$\frac{420}{x}$

（1）请计算第几天该商品单价为25元/件？
（2）求网店销售该商品30天里所获利润y（元）关于x（天）的函数关系式；
（3）这30天中第几天获得的利润最大？最大利润是多少？

Answer 1

分析 （1）分两种情形分别代入解方程即可．
（2）分两种情形写出所获利润y（元）关于x（天）的函数关系式即可．
（3）分两种情形根据函数的性质解决问题即可．

解答 解：（1）分两种情况
①当1≤x≤20时，将m=25代入m=20+$\frac{1}{2}$x，解得x=10
②当21≤x≤30时，25=10+$\frac{420}{x}$，解得x=28
经检验x=28是方程的解
∴x=28
答：第10天或第28天时该商品为25元/件．
（2）分两种情况
①当1≤x≤20时，y=（m-10）n=（20+$\frac{1}{2}$x-10）（50-x）=-$\frac{1}{2}$x²+15x+500，
②当21≤x≤30时，y=（10+$\frac{420}{x}$-10）（50-x）=$\frac{21000}{x}-420$
综上所述：$y=\left\{\begin{array}{l}-\frac{1}{2}{x^2}+15x+500（1≤x≤20）\\ \frac{21000}{x}-420（21≤x≤30）\end{array}\right.$
（3）①当1≤x≤20时
由y=-$\frac{1}{2}$x²+15x+500=-$\frac{1}{2}$（x-15）²+$\frac{1225}{2}$，
∵a=-$\frac{1}{2}$＜0，
∴当x=15时，y最大值=$\frac{1225}{2}$，
②当21≤x≤30时
由y=$\frac{21000}{x}$-420，可知y随x的增大而减小
∴当x=21时，y最大值=$\frac{21000}{21}$-420=580元
∵$580＜\frac{1225}{2}$
∴第15天时获得利润最大，最大利润为612.5元．

点评 本题考查二次函数的应用、反比例函数的性质等知识，解题的关键是学会构建函数，利用二次函数的性质解决问题，属于中考常考题型．